Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 15  (Okunma sayısı 4610 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1.018
  • Karma: +15/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 15
« : Ağustos 21, 2013, 12:01:29 ös »
$[1, 2013]$ aralığında yer alan $n$ gerçel sayısı nasıl seçilirse seçilsin, kenar uzunlukları birbirinden farklı olup bu sayılardan bazılarına eşit olan bir çokgen bulunuyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 14
\qquad\textbf{b)}\ 13
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ 10
$
« Son Düzenleme: Ağustos 25, 2013, 03:52:23 ös Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.786
  • Karma: +10/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 15
« Yanıtla #1 : Eylül 28, 2013, 12:37:28 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$

$x<y<z$ sayıları verildiğinde $x+y\leq z$ ise bir üçgen oluşturamıyoruz.
$x<y<z<w$ sayıları verildiğinde $x+y+z \leq w$ ise bir dörtgen oluşturamıyoruz.  Hem $x+y\leq z$ hem de $x+y+z\leq w$ ise ne üçgen oluşuyor, ne de dörtgen.

$1< 1+x < 2+2x < 4+4x < \dots < 1024 + 1024x$ sayılarından $a<b<c$ şeklinde üç sayı seçtiğimizde her zaman $a+b<c$ oluyor.
Benzer şekilde dört sayı seçtiğimizde $a+b+c<d$ olacaktır.
$(0,\frac{989}{1024}]$ aralığında bir $x$ sayısı seçildiğinde $1,1+x,2+2x,\dots ,1024+1024x$ sayıları hiçbir şekilde bir çeşitkenar çokgen oluşturmayacak.
Yani $n=12$ olduğunda çeşitkenar çokgenin bulunamadığı $n$ adet sayı seçilebiliyor.

$n=13$ olduğunda seçilen sayılar $1\leq x_1<x_2<\dots <x_{13}\leq 2013$ olsun.
$x_1+x_2+\dots+x_{i-1}>x_i$ olması demek çeşitkenar $i$-gen bulunabilir demek.

Hiçbir $i$ değeri için çeşitkenar çokgen bulunamadığını varsayalım.

$1\leq x_1<x_2$

Her tarafa $x_2$ ekleyelim:
$2\leq x_1+x_2\leq x3$

Her tarafa $x_3$ ekleyelim:
$4\leq x_1+x_2+x_3\leq x_4$

$\vdots$

$2048\leq x_1+x_2+\dots+x_{12}\leq x_{2013}\leq 2013$

olduğu için çelişki elde ettik.
Bu durumda $n=13$ olduğunda en az bir $i$ değeri için $x_1+x_2+\dots+x_{i-1}>x_i$ dir. Yani çeşitkenar $i$-gen bulunabilir.
« Son Düzenleme: Mayıs 18, 2014, 11:03:33 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal