$n$ çift olsun. Bu durumda, $n$ ile aralarında asal olan tüm sayılar tek olacaktır. O zaman $\varphi(n) = 20$ olacak.
$n=2^{a}p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k} \Rightarrow \varphi(n) = 2^{a-1}p_1^{a_1-1}\cdots p_k^{a_k-1}(p_1-1)\cdots(p_k-1) = 2^2\cdot5$.
$a>2$ sağlamaz; çünkü tüm $p_i - 1$ sayıları çiftir. O halde $a = 1$ veya $a=2$ .
$a = 2$ için, $p_1^{a_1-1}\cdots p_k^{a_k-1}(p_1-1)\cdots(p_k-1) = 10$. Bu durumda $n$ nin $2$ veya daha fazla tek asal çarpanı olamaz; çünkü $4\nmid 10$. Bu durumda, $p_1 = 11$ ve $\boxed{n=2^2\cdot 11 = 44}$ olur.
$a = 1$ için, $p_1^{a_1-1}\cdots p_k^{a_k-1}(p_1-1)\cdots(p_k-1) = 20$. Bu durumda $n$ nin $3$ veya daha fazla tek asal çarpanı olamaz; çünkü $8 \nmid 20$.
$1$ adet tek asal çarpan ($p$) için, $p^{a-1}(p-1) = 10 \Rightarrow \boxed{n=2\cdot 5^2 = 50}$
$2$ adet tek asal çarpan için, $p_1^{a_1 - 1}p_2^{a_2 - 1}(p_1 - 1)(p_2 - 1) = 20$.
$(p_1 - 1)(p_2 - 1) = 4k \geq 8$
$\Rightarrow p_1^{a_1 - 1}p_2^{a_2 - 1}k = 5 \Rightarrow k=5, a_1=a_2=1$.
$(p_1-1)(p_2-1)=20 \Rightarrow \boxed{n=2\cdot 3 \cdot 11 = 66}$.
$n$ tek olsun. $(a,n)=1$ ise, $(n-a, n)=1$ olacaktır. $a$ tek ise, $n-a$ çifttir. $a$ çift ise, $n-a$ tektir. Bu durumda $n$ ile aralarında asal tek sayıların sayısı, $n$ ile aralarında asal çift sayıların sayısına eşittir. O zaman, $\varphi(n) = 40$ tır.
$n$ nin $2$ den daha fazla asal böleni olamaz; çünkü $\varphi(n) \geq (3-1)(5-1)(7-1) = 48 > 40$.
$n$ nin bir asal böleni varsa, $p_1^{a_1 - 1}(p_1 - 1) = 40$ olacak. $p_1$ tek olduğu için, $p_1 = 8k + 1$. $a_1>1$ sol tarafı $40$ tan büyük yapar. O halde $a_1 = 1$ ve $p_1=\boxed{n=41}$
$n$ nin iki asal böleni varsa, $p_1^{a_1 - 1}p_2^{a_2 - 1}(p_1 - 1)(p_2 - 1) = 40$. $(p_1-1)(p_2-1) = 4k \geq 8$.
$\Rightarrow p_1^{a_1 - 1}p_2^{a_2 - 1}\cdot 4k = 40 \Rightarrow p_1^{a_1 - 1}p_2^{a_2 - 1}k = 10$.
$k=2$ ise, asal çarpanlardan biri $5$, $5$ in üssü $2$ ve diğer asal çarpanların üssü $1$ olmalı.
$5 \cdot (5-1)(p-1) = 40 \Rightarrow p-1=2 \Rightarrow p =3$. So $\boxed{n=3\cdot 5^2 = 75}$.
$k=5$ olamaz; çünkü $p_1^{a_1 - 1}p_2^{a_2 - 1}=2 $ olması mümkün değil.
$k=10$ ise, $p_1^{a_1 - 1}p_2^{a_2 - 1}=1 \Rightarrow a_1=a_2=1$. $(p_1-1)(p_2-1) = 40 \Rightarrow p_1 = 5, p_2 = 11 \Rightarrow \boxed{n=5\cdot 11 =55}$.
Toplamda $\boxed{6}$ farklı pozitif tam sayı elde edilmiş oldu.
