Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 07

[alpercay]

$x^4-8x^3+13x^2-24x+9=0$ denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$x^4-8x^3+13x^2-24x+9=(x^2 + ax+ b)(x^2+cx+d) = 0$ şeklinde olmalı.
$$\begin{array}{ccccccccc}
x^4 &+& ax^3 &+& bx^2 \\
&+&cx^3 &+& acx^2 &+& bcx \\
&&&+&dx^2 &+& adx &+& bd \\ \hline
x^4 &-& 8x^3 &+& 13x^2 &-& 24x &+& 9
\end{array}$$
ve
$$\begin{array}{rcl}
a+c &=& -8 \\
b+d+ac &=& 13 \\
bc+ad &=& -24 \\
bd &=& 9
\end{array}$$
Üçüncü dereceden denklemlerin çözümünü nasıl deneyerek yapıyorsak, bunu da deneyeceğiz. $bd=9$ da, $b=d=3$ olarak alırsak, $a+c=-8$ ile $bc+ad=-24$ ün uyumlu olduğunu görürüz. $b+d+ac=13$'te yerine yazarsak $ac=7$ ve $a+c=-8$ denklemlerinin ortak çözümünde $a=-1, c=-7$ nin bir çözüm olduğunu görebiliriz. O halde sorudaki ifadeyi $$x^4-8x^3+13x^2-24x+9=(x^2 - x+ 3)(x^2-7x+3) = 0$$ şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.
$x^2-x+3 = 0$ ın gerçel kökü yoktur. Bu durumda, $x^4-8x^3+13x^2-24x+9= 0$ denkleminin gerçel kökleri sadece $(x^2-7x+3) = 0$ dan gelecektir. O halde, denklemin gerçel kökleri toplamı $7$ dir.