Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 01

[alpercay]

$|AC|>|AB|$ olan bir $ ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $ I$ ve ağırlık merkezi $G$ olmak üzere, $IG$ ve $BC$ doğruları birbirine paralel, $|BC|= 2$, ve $ Alan(ABC)= \dfrac{3\sqrt{5}}{8}$ ise $|AB|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{9}{8}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{11}{8}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{13}{8}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{15}{8}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{17}{8}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$AM$ kenarortay, $AN$ açıortay olsun.
$IG\parallel BC$ olduğu için $$\dfrac{AG}{GM}=\dfrac{AI}{IN}=\dfrac{AB}{BN}=\dfrac{AC}{CN}=\dfrac{AB+AC}{BN+CN}=2\Rightarrow AB+AC=4$$ $AB=x$ ve $AC=4-x$ dersek, Heron formülünden $$\sqrt {3\cdot 1 \cdot (3-x) \cdot (x-1)} = \dfrac{3\sqrt 5}8 \Rightarrow (3-x)(x-1) = \dfrac {15}{8} = \dfrac {15}{8}\cdot \dfrac {1}{8}$$ Sol taraf toplamları $2$ olan iki sayının çarpımı sağ taraf da toplamları $2$ olan iki sayının çarpımı. O halde $x - 1 = \dfrac 18$ ya da $x-1 = \dfrac {15}{8}$. $AB<AC$ olduğu için $x = \dfrac 98$.