Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2010 Soru 4

[geo]

Tüm $a,b$ pozitif gerçel sayıları için, \[ a^2b^2(a^2+b^2-2) \geq (a+b)(ab-1)\] olduğunu kanıtlayınız.

(Okan Tekman)

[alpercay]

İfadeyi düzenlersek, $a^4b^2+a^2b^4+a+b \ge 2a^2b^2+a^2b+ab^2 \tag{1}$ olur. Aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğinden
$$\dfrac{3(a^4b^2+a^2b^4)+2(a+b)}{5} \ge \sqrt[5]{(a^4b^2 + b^4a^2)^3(a+b)^2} \ge 2a^2b^2 \tag{2}$$
ve
$$\dfrac{2a^4b^2+2a+b}{5}+\dfrac{2a^2b^4+2b+a}{5} \ge a^2b+ab^2 \tag{3}$$
olup $(2)$ ve $(3)$ taraf tarafa toplanırsa $(1)$ eşitsizliğine ulaşılır. $a=b=1$ iken eşitlik sağlanır.


Kaynak: artofproblemsolving