Tübitak Lise Takım Seçme 2013 Soru 1

[Lokman Gökçe]

Bir $n$ pozitif tam sayısı için, $n$ den küçük ve $n$ ile arasında asal olan pozitif tam sayıların sayısı $\phi(n)$ ile gösterilmek üzere, $$2^n + (n-\phi(n)-1)! = n^m+1$$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

(Vefa Göksel)

[SerkanOzel]

n tek
p ni bolen herhangi bir asal sayi olsun
eger 2 nin modp deki mertebesi n i boluyorsa 2ⁿ denktir bire mod p de n=k.p.o olsun(o diger asallarin carpimi) 2^p-1 denktir 1 e mod p oldugundan 2^k.p.o denktir 2^p-1.2^k. 2^o.2denktir 1 ise  2^o+1 denktir 1 e ise k boler o +1
p=5 icin 2 nin mod5 deki mertebesi =4 bolmeli ni.Bu ancak faktoryelin ici 1 olursa gecerli n=4 m=2 icin faktoryelin ici 1 old dan sadece (4,2) (2,2) n tekti celiski
2 nin mod p deki mertebesi n i bolemez ise 2ⁿ 1 e denk degil
Hal boyle olunca denkleme mod p de bakinca p  (n-fi(n)-1)!i bolemez.
Buradan p buyuktur (n-fi(n)-1)! gelir (i).
Denkleme mod 5 te bakinca n esit degildir 5 icin 5 boler n cikar.
Yani nin en kucuk asali 5 tir Bunu (i) dep yerine koyunca n-fi(n) kucuktur 6 cikar
Buradan n icin buyuk capta bi sinirlama elde ettik.nin 25 e bolundugunu goz onune alarak boyle bi deger olmadigini soyleyebiliriz.Bu durum icin coz yok.