Tübitak Lise Takım Seçme 2012 Soru 8

[Lokman Gökçe]

$ABC \cong A'B'C'$ olacak biçimde düzlemde yer alan birbirinden farklı $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ noktaları için, $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktası olsun. $G$ den geçen $A'$ merkezli çember ile $[AA']$ çaplı çember $A_1$ noktasında, $G$ den geçen $B'$ merkezli çember ile $[BB']$ çaplı çember $B_1$ noktasında, $G$ den geçen $C'$ merkezli çember ile $[CC']$ çaplı çember de $C_1$ noktasında kesişiyorsa, $$|AA_1|^2+|BB_1|^2+|CC_1|^2\leq |AB|^2 + |BC|^2 + |CA|^2 $$ olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)