Tübitak Lise Takım Seçme 2012 Soru 7

[Lokman Gökçe]

Bir $r$ rasyonel sayısı ve bir $n$ pozitif tam sayısı için, $S_r(n) = 1^r + 2^r + \dots + n^r$ olsun. Sonsuz çoklukta $n$ pozitif tam sayısı için, $S_a(n) = \left(S_b(n)\right)^c$ olmasını sağlayan bütün $a,b$ pozitif rasyonel sayılarını ve $c$ pozitif tam sayılarını belirleyiniz.

(Ömer Faruk Tekin)

[MATSEVER 27]

Cevap: $a = 3; b = 1; c = 2$ ve $a = b \in \mathbf{Q^+}; c = 1.$

Koşulda $n$ üstünde Bernoulli Eşitsizliği uygularsak tüm pozitif $n$ tamsayıları ve pozitif rasyonel $r$ sayıları için;
$$\frac{n^{r+1}}{r+1} \le S_r(n) \le \frac{(n+1)^{r+1}}{r+1}  $$
elde ederiz. $S_a(n) = (S_b(n))^c$ eşitliğinde benzer biçimde $r=a,b$ için Bernoulli eşitsizliği uygularsak;

$\dfrac{n^{a+1}}{a+1} \le \left( \dfrac{(n+1)^{b+1}}{b+1} \right)^c $   ve   $\dfrac{(n+1)^{a+1}}{a+1} \ge \left( \dfrac{n^{b+1}}{b+1} \right)^c $

elde edilir. Buradan;
$$\frac{n^{(b+1)c}}{(n + 1)^{a+1}} \le \frac{(b + 1)^c}{a + 1} \le \frac{(n + 1)^{(b+1)c}}{n^{a+1}}$$
eşitsizliğinin sonsuz sayıda $n$ pozitif tamsayısı için sağlandığını elde ederiz. Son eşitsizlikte $n$ e sonsuza yakın bir değer verdiğimizde $(b + 1)c = a + 1$ ve $(b + 1)^c = a + 1$ olması gerektiğini elde ederiz. $c=1$ ise $a=b$ sağlar. $c>1$ ise $c = (b + 1)^{c-1}$ ve $b \in \mathbf{Z}$ olur. $b\ge 1$ den $c \ge 2^{c-1}$ olmalıdır. Yani $c=2$ dir. Buradan $a=3,b=1$ gelir ve ispat biter.

[Eray]

Buradan;
$$\frac{n^{(b+1)c}}{(n + 1)^{a+1}} \le \frac{(b + 1)^c}{a + 1} \le \frac{(n + 1)^{(b+1)c}}{n^{a+1}}$$
eşitsizliğinin sonsuz sayıda $n$ pozitif tamsayısı için sağlandığını elde ederiz. Son eşitsizlikte $n$ e sonsuza yakın bir değer verdiğimizde $(b + 1)c = a + 1$ ve $(b + 1)^c = a + 1$ olması gerektiğini elde ederiz.

Bu kısmı anlayamadım. Biraz daha ayrıntılı açıklayabilir misiniz?

[MATSEVER 27]

Çevirirken aslında o kısmı tam olarak anlayamadım. İsterseniz ben ingilizcesini de göndereyim bir sıkıntı varsa orayı düzeltelim.