Tübitak Lise Takım Seçme 2012 Soru 4

[Lokman Gökçe]

Bir $ABC$ üçgeninin içteğet çemberi $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ kenarlarına sırasıyla, $D$, $E$, $F$ noktalarında değiyor. $A$ noktasında geçen ve $BC$ doğrusuna $D$ de teğet olan çember ise, $[BF]$ ve $[CE]$ doğru parçalarını sırasıyla, $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. $E$ den geçen ve $DL$ ye paralel olan doğru ile $F$ den geçen ve $DK$ ye paralel olan doğru da $P$ noktasında kesişiyor. $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ sırasıyla, $AFD$, $AED$, $FPD$, $EPD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin yarıçapları olmak üzere, $R_1R_4 = R_2R_3$ olduğunu kanıtlayınız.

(Fehmi Emre Kadan)

[geo]

$u$ yarıçevre olmak üzere; $BD=BF=u-b$, $CD=EC=u-c$, $AF=AE=u-a$.
$B$ nin $(AKDL)$ çemberine göre kuvvetinden $BK=\dfrac {(u-b)^2}c$ ve $C$ nin aynı çembere göre kuvvetinden $CL=\dfrac {(u-c)^2}b$.

Bu durumda $KF = (u-b) - \dfrac {(u-b)^2}c$ ve $EL = (u-c) - \dfrac {(u-c)^2}b$. Biraz aritmetikle $$\dfrac{KF}{EL} = \dfrac {b(u-b)}{c(u-c)}.$$
$\triangle BDK \sim \triangle BAD$ olduğu için $\dfrac {KD}{AD} = \dfrac {BD}{AB} = \dfrac {u-b}{c}$, aynı şekilde $\triangle CDL \sim \triangle CAD$ olduğu için $\dfrac {DL}{AD} = \dfrac {DC}{AC} = \dfrac{u-c}{b}$.  Taraf tarafa oranlarsak; $$ \dfrac {KD}{DL} = \dfrac {b(u-b)}{c(u-c)} = \dfrac {KF}{EL} \tag{1}$$
$(AFD)$ nin yarıçapı $R_1 = \dfrac {AD}{2\sin \angle AFD} = \dfrac {AD}{2\sin \angle KFD}$,

$(FPD)$ nin yarıçapı $R_3 = \dfrac {PD}{2\sin \angle PFD} = \dfrac {PD}{2\sin \angle FDK}$.
Taraf tarafa oranlarsak $$ \dfrac{R_1}{R_3} = \dfrac {AD \cdot \sin \angle FDK}{PD \cdot \sin \angle KFD } = \dfrac {AD}{PD} \cdot \dfrac{KF}{KD} \tag{2}$$
$(AED)$ nin yarıçapı $R_2 = \dfrac {AD}{2\sin \angle AED} = \dfrac {AD}{2\sin \angle DEL}$,

$(EPD)$ nin yarıçapı $R_4 = \dfrac {PD}{2\sin \angle PED} = \dfrac {PD}{2\sin \angle EDL}$.
Taraf tarafa oranlarsak $$ \dfrac{R_2}{R_4} = \dfrac {AD \cdot \sin \angle EDL}{PD \cdot \sin \angle DEL } = \dfrac {AD}{PD} \cdot \dfrac{EL}{DL} \tag{3}$$
$(2)$ ile $(3)$ oranlayıp $(1)$ deki eşitliği yerine yazarsak $R_1R_4 = R_2R_3$ eşitliğini elde ederiz.