Harmonik Bölüm : Bir doğru üzerinde $A$ ve $B$ gibi iki nokta alalım. $[AB]$ yi içten bölen $P$ noktası ile dıştan bölen $Q$ noktası için $\dfrac {AP}{AQ} = \dfrac {BP}{BQ}$ oluyorsa $P$ ve $Q$ noktaları $[AB]$ yi harmonik olarak böler. $P$ ve $Q$ noktalarının $[AB]$ yi harmonik olarak bölüşü $(ABPQ)$ şeklinde gösterilir. Ayrıca $P$ ve $Q$ noktalarına $A$ ve $B$ noktalarının, karşıt olarakta $A$ ve $B$ noktalarına $P$ ve $Q$ noktalarının harmonik eşlenikleri denir.
Kutup Doğrusu : Bir daire ve bir $P$ noktası veriliyor. Bu noktadan geçen ve daireyi $A$ ve $B$ noktalarında kesen değişken bir doğru çiziliyor. $P$ noktasının $A, B$ noktalarına göre harmonik eşleniği olan $Q$ noktası alınıyor. $Q$ noktasının geometrik yeri bir doğru olup, bu doğruya $P$ noktasının daireye göre kutup doğrusu denir.
$P$ noktasından daireye çizilen teğetlerin değme noktaları $C$ ve $D$ olmak üzere, $CD$ doğrusu $P$ nin kutup doğrusudur ve $OP$ doğrusuna diktir. ( $O$ dairenin merkezi)
Buradan şu sonucu çıkarabiliriz. Dairenin yarıçap $R$ ve $P$ ile $M$ eşlenik noktalar olmak üzere ; $R^{2} = |OM|\cdot|OP|$ dir.
Eşlenik Noktalar : Eğer bir $A$ noktasının kutup doğrusu $B$ noktasından geçerse, karşıt olarak $B$ noktasının kutup doğrusuda $A$ noktasında geçer.
$A$ nın kutup doğrusu $(\Delta)$ ve bu doğru $OA$ ya $A'$ noktasında dik olsun. $R$ dairenin yarıçapı olmak üzere,
$|OA|\cdot|OA'|=R^{2}$ dir.
$(\Delta)$ nın herhangi bir noktası $B$ olsun. $OB$ ye $AB'$ dikmesini çizelim. $\angle{AA'B} = \angle{AB'B}=90^{\circ}$ olduğundan $A, A', B, B'$ noktaları bir daire üzerindedir. Bu takdirde,
$|OA|.|OA'| = |OB|.|OB'| = R^{2}$
bulunur. Bu gösterir ki $AB' , B$ noktasının kutup doğrusudur. O halde bu kutup doğrusu $A$ noktasından geçer.
Eşlenik Doğrular : Eğer bir $(D)$ doğrusu $(\Delta)$ doğrusunun kutbundan geçerse, karşıt olarak $(\Delta)$ doğrusu da $(D)$ doğrusunun kutbundan geçer.
$(\Delta)$ doğrusunun kutbu $A$ olsun. $OA , (\Delta)$ ya dik olup $(\Delta$) yı $A'$ noktasında kestiğine göre, $R^{2}=|OA|\cdot|OA'|$ dir.
$(\Delta)$ nın kutbundan geçen herhangi bir doğru $(D)$ olsun. $(\Delta)$ nın $(D)$ nin kutbundan geçtiğini gösterelim.
$(D)$ ye indirilen $OB’$ dikmesinin $(\Delta)$ yı kesiği nokta $B$ olsun. $A , A’ , B , B’$ noktaları çembersel olduğundan
$|OB|\cdot|OB’| = |OA|\cdot|OA’| = R^{2}$
olur. Bu bağıntı $(D)$ nin kutbunun $B$ olduğunu gösterir. Böylece $(\Delta)$ nın $(D)$ doğrusunun kutbundan geçtiği görülür
Asıl problemin çözümünde faydalanacağımız bir alt probleme çözüm arayalım
Problem : Bir teğetler dörtgeninde, köşegenlerin kesim noktası ile karşılıklı kenarların değme noktaları doğrusaldır.
Çözüm : $\triangle{KDL}$ ve $\triangle{KBL}$ nin alanlarının inceleyelim.
$\angle{LKD} = \angle{NKB}$ olduğundan,
$$\dfrac{Alan(KDL)}{Alan(KBN)} = \dfrac{|KD|\cdot|KL|}{|KB|\cdot|KN|}$$
$N$ ve $L$ teğet değme noktaları olduğundan, $\angle{KLD}=\angle{KNC}=180^{\circ}-\angle{KNB}$ dir. O halde,
$$\dfrac{Alan(KDL}{Alan(KBN)} = \dfrac{|KL|\cdot|LD|}{|KN|\cdot|NB|}$$
Bulunan iki eşitlikten,
$\dfrac{|LD|}{|BN|} = \dfrac{|KD|}{|KB|}$ dir.
$[BD]$ üzerindeki herhangi bir $T$ noktası için
$\triangle{TBS}$ ve $\triangle{TDM}$ inin alanlarını inceleyelim.
$\angle{BTS} = \angle{DTM}$ olduğundan,
$$\dfrac{Alan(TBS)}{Alan(TDM)} =\dfrac{|TB|\cdot|TS|}{|TD|\cdot|TM|}$$
$\angle{BST}$ ile $\angle{DMT}$ bütünler olduğundan,
$$\dfrac{Alan(TBS)}{Alan(TDM)} = \dfrac{|BS|\cdot|TS|}{|TM|\cdot|MD|}$$
Bulunan iki eşitlikten,
$\dfrac{|MD|}{|BS|} = \dfrac{|TD|}{|TB|}$ dir.
$|MD|=|DL|$ ve $|BS| = |BN|$ olduğundan, $T$ ve $K$ noktalarının $[BD]$ aynı oranda bölen noktalar olduğunu buluyoruz.
O halde $T$ noktası aslında $K$ dır.
Demek ki teğetler dörtgeninde değme kirişleri bir köşegenin üzerinde kesişiyorlar.$[AC]$ köşegenini seçerek başlasaydık $K$ noktası bu köşegeninde üzerinde bulunacaktı.
$K$ noktasının $NL$ ve $MS$ doğruları üzerinde bulunduğunu göstermiş olduk. $MS , P$ noktasının daireye göre kutup doğrusu , $NL$ de $Q$ noktasının daireye göre kutup doğrusudur. O halde $P$ ile $K$ ve $Q$ ile $K$ eşlenik noktalar olup $K$ nın kutup doğrusu da $P$ ve $Q$ noktalarından geçen $PQ$ doğrusu olacaktır. Buna göre $OK$ doğrusu $PQ$ doğrusuna diktir.
Dairenin $ON$ ve $OL$ yarıçaplarının kenarlara dik olduğunu biliyoruz. Bu halde $O, N, H, Q, L$ noktaları çemberseldir. $QO$ nun açıortay olması bilgisini de kullanarak çembersellikten gelen eşit açılar ile $\triangle{ONK}$ ile $\triangle{OHN}$ nin benzerliğini görebiliriz. Bu benzerliğe göre;
$$\dfrac{|ON|}{|OH|} = \dfrac{|OK|}{|ON|}$$ yani, $|ON|=r , |OH|=d$ olup $$r^{2} = |OK|\cdot{d}$$ dir.
