Tübitak Lise Takım Seçme 2006 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$x,y,z$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $xy+yz+zx=1$ ise, $$\dfrac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\ge (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^{2}\ge 6\sqrt{3}$$ olduğunu gösteriniz.

[merdan97]

İlk olarak sol tarafı ispatlayalım. Cauchy-Schwarz'dan

$(1+1+1)(x+y+y+z+z+x)\ge(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^2$

$6(x+y+z)\ge(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^2$

$\dfrac{27(x+y)(y+z)(z+x)}4\ge6(x+y+z)$ eşitsizliğini ispatlamak yeterli.

$xy+yz+zx=1$ olduğunu kullanarak.eşitsizlik şuna dönüşür.

$\dfrac{27(x+y)(y+z)(z+x)}4\ge6(x+y+z)(xy+yz+zx)$

${27(x+y)(y+z)(z+x)}\ge24(x+y+z)(xy+yz+zx)$ eşitsizliğini düzenleyip sadeleştirirsek

$x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2\ge6xyz$ olur ki bu A.O-G.O eşitsizliğinin sonucudur.ispat biter sağ tarafın ispatı için

$(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})=S$ diyelim.

$S^2\ge6\sqrt{3}$ olduğunu göstermeliyiz.

$(a+b+c)^2\ge3(ab+ac+bc)$ eşitsizliğini kullanarak

$S^2\ge3(\sqrt{x+y}\sqrt{y+z}+\sqrt{y+z}\sqrt{z+x}+\sqrt{x+y}\sqrt{z+x})$ (1)

$\sqrt{x+y}\sqrt{y+z}+\sqrt{y+z}\sqrt{z+x}+\sqrt{x+y}\sqrt{z+x}=M$ diyelim.

$(a+b+c)^2\ge3(ab+ac+bc)$ eşitsizliğini tekrar kullanarak.

$M^2\ge3\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

$M^2\ge3\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.S$

eşitsizliğin sol tarafında

$(x+y)(y+z)(z+x)\ge\dfrac{4S^2}{27}$ olduğunu ispatlamıştık.

$M^2\ge3\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.S\ge\dfrac{6S^2}{3\sqrt{3}}$

(1)'den

$S^4\ge9M^2\ge\dfrac{54S^2}{3\sqrt{3}}=6\sqrt{3}S^2$

$S^2\ge6\sqrt{3}$ olur ve ispat biter.