Tübitak Lise Takım Seçme 2001 Soru 6

[Lokman Gökçe]

Her $x$ gerçel sayısı için, $$f(x-f(x)) = \dfrac x2$$ koşulunu sağlayan sürekli bir $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonunun bulunmadığını gösteriniz.

[geo]

$g(x) = x - f(x)$ olsun. $f\left(g(x)\right) = \dfrac x2$ ve $f$ sürekli olduğu için $g$ de süreklidir. $$g^2(x) = g\left(g(x)\right) = g(x) - \dfrac x2 $$
$g(a)=g(b)=k$ ise $g^2(a) = g^2(b) = g(k)$ ve $$g^2(a) = g(a) - \dfrac a2 = k - \dfrac a2$$ $$g^2(b) = g(b) - \dfrac b2 = k - \dfrac b2$$ olacağı için $a=b$, yani $g$ bire-birdir. $g$ aynı zamanda sürekli olduğu için, $g$ ya artandır ya da azalandır.
$$ \begin{array}{rcl}
g^3(x) &=& g^2(x) -  \dfrac {g(x)}2 \\
g^4(x) &=& g^3(x) -  \dfrac {g^2(x)}2 \\
&=& g^2(x)-\dfrac{g(x)}{2} - \dfrac{g^2(x)}2 \\
&=& \dfrac{g^2(x) - g(x)}4 = \dfrac {-x}4
\end{array}$$
$g$ artan olsun. $$ \begin{array}{rcl}
4 &>& 0 \\
g(4) &>& g(0) \\
g^2(4) &>& g^2(0) \\
g^4(4) &>& g^4(0) \\
\dfrac{-4}{4} &\not >& \dfrac{0}4
\end{array}$$ Bu durumda $g$ azalandır. $$ \begin{array}{rcl}
4 &>& 0 \\
g(4) &<& g(0) \\
g^2(4) &>& g^2(0) \\
g(4) - \dfrac{4}2 &>& g(0) - \dfrac{0}2 \\
g(4) &>& g(0) + 2 > g(0)
\end{array}$$ olduğu için $g$ azalan olamaz. Bu durumda sürekli $g$ fonksiyonu bulunmaz. Dolayısıyla da $f$ fonksiyonu bulunmaz.

[geo]

$g(x) = x - f(x)$ olsun. $f\left(g(x)\right) = \dfrac x2$ ve $f$ sürekli olduğu için $g$ de süreklidir. $$g^2(x) = g\left(g(x)\right) = g(x) - \dfrac x2 $$
$g(a)=g(b)=k$ ise $g^2(a) = g^2(b) = g(k)$ ve $$g^2(a) = g(a) - \dfrac a2 = k - \dfrac a2$$ $$g^2(b) = g(b) - \dfrac b2 = k - \dfrac b2$$ olacağı için $a=b$, yani $g$ bire-birdir. $g$ aynı zamanda sürekli olduğu için, $g$ ya artandır ya da azalandır.
$$ \begin{array}{rcl}
g^3(x) &=& g^2(x) -  \dfrac {g(x)}2 \\
g^4(x) &=& g^3(x) -  \dfrac {g^2(x)}2 \\
&=& g^2(x)-\dfrac{g(x)}{2} - \dfrac{g^2(x)}2 \\
&=& \dfrac{g^2(x) - g(x)}4 = \dfrac {-x}4
\end{array}$$
$g^4(x)=-\dfrac x4$ azalandır.
$g(x)$ artansa $g^2(x)$, $g^3(x)$, $g^4(x)$ artan olmalı. Çelişki.

$g(x)$ azalansa $g^2(x)$ artan, $g^3(x)$ azalan, $g^4(x)$ artan olmalı. Çelişki.

Bu durumda $g(x)$, dolayısıyla sorudaki şartı sağlayan $f(x)$ bulunmaz.