Tübitak Lise Takım Seçme 2001 Soru 5

[Lokman Gökçe]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin yüksekliklerinin kesişim noktası $H$, $[AC]$ kenarının orta noktası da $D$ olsun. $DH$ doğrusunun, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile $[BH]$ çaplı çemberin bir kesişim noktasından geçtiğini gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

$BH$ çaplı çemberin merkezi $E$ ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin ikinci kez kestiği noktaya da $R$ diyelim.
Euler bağıntısından $|OD|=\dfrac{BH}{2}$ olduğunu biliyoruz.
$OD\parallel BH$ olduğundan, $ODHE$ paralelkenardır.O halde $OE\parallel DH$ dır.
$O$ ve $E$ çemberlerin merkezi olduğundan, $|OB|=|OR|$ ve $|EB|=|ER|$ eşitlikleri vardır. Buna göre $OE\perp BR$ ve $BH$ çap olduğundan $HR\perp BR$ dir. Buradan da $OE\parallel HR$ olduğunu görüyoruz. $OE$ doğrusuna $H$ noktasından çizilen paralel doğrular çakışıktır. O halde $D ,H ,R$ doğrusal noktalardır.