Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 2001 Soru 4  (Okunma sayısı 1747 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 2001 Soru 4
« : Ağustos 08, 2013, 10:07:02 ös »
$5^x = 1 + 4y + y^4$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ sıralı tam sayı ikililerini bulunuz.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:52:28 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı merdan97

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 30
  • Karma: +0/-0
Ynt: 4
« Yanıtla #1 : Ağustos 09, 2013, 01:22:56 ös »
$y$ tek olursa sağ taraf çift olur bu imkansız.
$y$ çift olmalı. o zaman sağ taraf $8$'e bölününce $1$ kalanını verir ki sol taraf da aynı kalanı vermeli $x$ çif olmalı. sol taraf tamkare olur.
Sağ taraftaki ifadeyi tamkare olmasına göre inceleyelim.
  • $y\ge0$ ise
    $(y^2+2)^2 > y^4+4y+1>(y^2)^2$
    $y^4+4y+1=(y^2+1)^2$  olmalı.
    $2y^2-4y=0$
    $y=0$ , $y=2$
    $y=0\Rightarrow y^4+4y+1=1=5^x$ 
    $x=0$ olur.
    $y=2\Rightarrow y^4+4y+1=25=5^x$
    $x=2$ olur.
    Buradan $(x,y)=(0,0)$ ve $(x,y)=(2,2)$ bulunur.

  • $y< 0$ ise $a>0$ olmak üzere $a=-y$ diyelim.
    $y^4+4y+1=a^4-4a+1$
    $a=1,2$ için çözüm gelmez $a>2$ alabiliriz.
    $(a^2+1)^2> a^4-4a+1 > (a^2-1)^2$
    $a^4-4a+1=(a^2)^2=a^4$  olur. Buradan a tamsayı olmaz çözüm gelmez.
 
Tüm çözümler $(x,y)=(0,0)$ ve $(x,y)=(2,2)$ olur.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:52:33 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal