Tübitak Lise Takım Seçme 2001 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$5^x = 1 + 4y + y^4$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ sıralı tam sayı ikililerini bulunuz.

[merdan97]

$y$ tek olursa sağ taraf çift olur bu imkansız.
$y$ çift olmalı. o zaman sağ taraf $8$'e bölününce $1$ kalanını verir ki sol taraf da aynı kalanı vermeli $x$ çift olmalı. Sol taraf tamkare olur.
Sağ taraftaki ifadeyi tamkare olmasına göre inceleyelim.

• $y\ge0$ ise
  $(y^2+2)^2 > y^4+4y+1>(y^2)^2$
  $y^4+4y+1=(y^2+1)^2$  olmalı.
  $2y^2-4y=0$
  $y=0$ , $y=2$
  $y=0\Rightarrow y^4+4y+1=1=5^x$ 
  $x=0$ olur.
  $y=2\Rightarrow y^4+4y+1=25=5^x$
  $x=2$ olur.
  Buradan $(x,y)=(0,0)$ ve $(x,y)=(2,2)$ bulunur.
  
  
• $y< 0$ ise $a>0$ olmak üzere $a=-y$ diyelim.
  $y^4+4y+1=a^4-4a+1$
  $a=1,2$ için çözüm gelmez. $a>2$ alabiliriz.
  $(a^2+1)^2> a^4-4a+1 > (a^2-1)^2$
  $a^4-4a+1=(a^2)^2=a^4$  olur. Buradan $a$ tam sayı olmaz çözüm gelmez.

 
Tüm çözümler $(x,y)=(0,0)$ ve $(x,y)=(2,2)$ olur.