Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 2001 Soru 2  (Okunma sayısı 1842 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 2001 Soru 2
« : Ağustos 08, 2013, 09:14:38 ös »
$O$ merkezli birim çemberin $AB$ çapına, $|OT|>1$ olacak şekilde seçilen bir $T$ noktasında teğet olan bir çember, birim çemberi $C$ ve $D$ ile gösterilen farklı iki noktada kesiyor. $O$, $D$ ve $C$ noktalarından geçen çemberin $AB$ doğrusunu $O$ dışında kestiği nokta $P$ olmak üzere, $$|PA|\cdot |PB| = \dfrac {|PT|^2}{|OT|^2}$$ olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:52:05 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1713
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2001 Soru 2
« Yanıtla #1 : Eylül 10, 2013, 11:00:14 ös »
$(CDT)$ çemberinin merkezi $Q$ olsun. $OQ$ doğrusu $(OCD)$ çemberini $R$ de kessin. $OR$, $(OCD)$ çemberinin çapıdır. Bu durumda $RP\perp AB$ dir.
$O(0,0)$, $A(1,0)$ ve $Q(a,r)$ olsun.

$(O, 1) : x^2+ y^2 = 1$ ve $(Q,r) : (x-a)^2 + (y-r)^2 = r^2 $ olacaktır.

$C(x_1, y_1)$ noktası $x_1^2 + y_1^2 = 1$ ve $(x_1 - a)^2 + (y_1-r)^2 = r^2$ denklemlerini sağlar.

$x_1^2 + a^2 - 2ax_1 + y_1^2 + r^2 - 2y_1r = r^2 \Rightarrow a^2 + 1 = 2ax_1 + 2ry_1.$

$OC \perp RC$ olduğu için $RC$ nin eğimi $m = -\dfrac {x_1}{y_1}$ ve $RC$ doğrusunun denklemi $y = -\dfrac {x_1}{y_1}x + k$ olur.

$C(x_1,y_1)$ noktasını denklemde yerine yazarsak; $k = y_1  +\dfrac {x_1}{y_1}\cdot x_1 = \dfrac{x_1 ^2 + y_1^2}{y_1} = \dfrac 1{y_1}$.

Öyleyse $RC : y =  -\dfrac {x_1}{y_1}x + \dfrac {1}{y_1}$.

$OQ: y = \dfrac ra \cdot x$

$OQ \cap RC = \{R\} \Rightarrow \dfrac {1}{y_1} = x\left( \dfrac ra + \dfrac {x_1}{y_1} \right)$

$\Rightarrow a = (ry_1 + ax_1)x \Rightarrow \dfrac {2a}{a^2 + 1} = x$.

Bulduğumuz $x$ değeri $R$ noktasının apsisi, yani $OP = \dfrac {2a}{a^2+1}$.

$PA \cdot PB = \left (1 -  \dfrac {2a}{a^2+1}\right) \left (  1 + \dfrac {2a}{a^2+1} \right) = \dfrac {(a-1)^2(a+1)^2}{(a^2+1)^2} $

Diğer taraftan $\dfrac {PT}{OT} = \dfrac {a - \dfrac {2a}{a^2+1}}{a} = 1 -  \dfrac {2}{a^2+1} = \dfrac {a^2-1}{a^2+1} = \dfrac {(a-1)(a+1)}{a^2+1}$ $\blacksquare$
« Son Düzenleme: Haziran 22, 2014, 09:51:58 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal