Tübitak Lise Takım Seçme 2001 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$2001$ çocuktan her biri pozitif bir tam sayı tutuyor ve tuttuğu sayı ile kendi dışındaki $2000$ çocuktan istediklerinin isimlerini defterine yazıyor. Defterler toplanıp, her çocuğa, defterine isimlerini yazmış olduğu çocukların tuttuğu sayıların toplamından, kendisini listelerine dahil etmiş olan çocukların tuttuğu sayıların toplamı çıkartılarak elde edilen yeni bir sayı veriliyor. Çocuklara verilen yeni sayıların hepsinin birden pozitif olup olamayacağını belirleyiniz.

[geo]

Çocukları hücre olarak olarak düşünelim. Bir $c_i$ çocuğu, defterine $c_j$ çocuğunun ismini yazıyorsa, $c_i$ den $c_j$ ye yönlü bir bağ oluşturalım. $c_k$ çocuğu da $c_i$ yi defterinde yazmışsa, $c_k$ dan $c_i$ ye yönlü bir bağ oluşacak. $c_i$ nin puanı, kendisinden çıkan bağların karşı taraflarındaki sayıların toplamından kendisine gelen bağların karşı taraflarındaki sayıların toplamı çıkarılarak bulunuyor.
Her hücrenin şu şekilde bölündüğünü varsayıyoruz. Bir çocuk $n$ sayısını tutmuşsa, onun hücresi tutulan sayıların $1$ olduğu $n$ küçük hücreye bölünüyor. Başlangıçtaki çocuk hücresine gelen ve giden bağların, $n$ kopyası oluşturulup, küçük hücrelere bağlanıyor. Bu küçük hücrelerin puanları, ata hücrenin puanı ile aynıdır. Çünkü, gelen bağlar ile giden bağlar, tamamen önceki ile aynı. Bu durumda $n$ sayısının tutulduğu $p$ puanlı bir hücre bölündüğünde, $1$ sayısının tutulduğu $p$ puanlı $n$ adet hücre oluşuyor.
Diğer taraftan, bu bölünen hücreden habersiz hücrelerin puanlarında da bir değişiklik olmamıştır. Bölünen hücrenin $c_i$ olduğunu, $c_i$ nin $c_j$ yi defterine yazdığını, $c_k$ nın da $c_i$ yi defterine yazdığını varsayalım. $c_j$ nin puanı $p_j$ hesaplanırken $c_i$ nin tuttuğu sayı çıkarılıyordu. Şimdi $c_i$ de tutulan sayı değil de $c_i$ kadar $1$ sayısı çıkarılacak. Sonuçta $p_j$ değişmeyecek. Benzer durum $p_k$ için de geçerli. $p_k$ hesaplanırken, $c_i$ de tutulan sayı toplanıyordu. Şimdi bu sayı değil de bu sayı kadar $1$ toplanacağı için $p_k$ da değişmeyecek. Demek ki, yukarıda anlatıldığı gibi bir bölünme işlemi sonucunda, diğer hücrelerdeki puanlar değişmiyor.
Tüm hücreler bölündüğü zaman, elimizde tutulan sayıların $1$ olduğu bir sürü küçük hücre oluşacak. Bu hücrelerin puanları başlangıçtaki $p_1, p_2, \dots, p_{2001}$ puanlarından farklı değil.
Her hücrede tutulan sayı $1$ olduğu için, puan hesabının şöyle yapıldığı kabul edebiliriz: Bir hücrenin puanı, giden bağlarının sayısı ile gelen bağlarının sayısının farkıdır.
Bu durumda, bir hücrenin puanında $(+)$ olarak hesaplanan giden bağ, karşıdaki hücrenin puanı hesaplanırken $(-)$ olarak işleme tutulacağından, tüm puanların toplamı $0$ dır. Bu durumda puanların hepsi birden pozitif olamaz.

[geo]

$a_i$ ile $i$ nolu çocuğun tuttuğu sayıyı gösterelim.
$p_i$ ile $i$ nolu çocuğa verilen sayıyı gösterelim. Bu sayıya $i$ nolu çocuğun puanı diyelim.
Soruda, bizden $p_i$ lerden en az birinin pozitif olmayacağını göstermemiz isteniyor.
$q_i = a_i p_i$ ile de $i$ nolu çocuğun ağırlıklı puanını gösterelim. $a_i$ pozitif olduğu için $q_i$ ile $p_i$ nin işareti aynı olacaktır.

$i$ nolu çocuğun $j$ nolu çocuğu defterine yazdığını düşünelim.
$q_i = a_i\left((\dots + a_j + \cdots ) - ( \cdots )\right )$ ve $q_j = a_j\left( (\cdots) - (\cdots + a_i + \cdots)\right )$ olacağı için $\sum\limits_{i=0} q_i  = 0$ olacaktır.
Bu durumda en az bir $q_i$ pozitif değildir. Dolayısıyla en az bir $p_i$ pozitif değildir.