$m$ sayısını da $p$ tabanında $s$ basamaklı hale getirelim. (Başa $0$ ekleyerek)
$$\begin{array}{rcl}
m&=&a_{0}+a_{1}p+\ldots +a_{s}p^{s} \\
n &=& b_{0}+b_{1}p+\ldots +b_{s}p^{s} \\
n-m &=& k_{0}+k_{1}p+\ldots +k_{s}p^{s}
\end{array}$$
$k,x \in \mathbb N$ olmak üzere; $n! = M \cdot p^x$ eşitliğini sağlayan en büyük $x$ sayısı $$\Delta_p(n) = \left\lfloor \frac {n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac {n}{p^2} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac {n}{p^s} \right\rfloor$$ olacaktır. Biraz düzenlemeyle $$\begin{array}{rcl}
\Delta_p(n) &=& b_1 + b_2(p+1) + \dots + b_s(p^{s-1} + \dots + 1)\\
(p-1)\Delta_p(n) &=& b_1(p-1) + b_2(p^2-1) + \dots + b_s(p^s - 1) \\
(p-1)\Delta_p(n) &=& b_1p + b_2p^2 + \dots + b_sp^s - (b_1 + b_2 + \dots + b_s) \\
(p-1)\Delta_p(n) &=& b_0 + b_1p + b_2p^2 + \dots + b_sp^s - (b_0 + b_1 + b_2 + \dots + b_s) \\
(p-1)\Delta_p(n) &=& n - \sum\limits_{i=0}^s b_i
\end{array}$$
$n$ nin $p$ tabanında rakamları toplamına $\delta_p(n) = \sum\limits_{i=0}^s b_i$ dersek $$\Delta_p(n) = \dfrac{n - \delta_p(n)}{p-1}$$ olur.
$p^x | \binom{n}{m} = \dfrac{n!}{(n-m)!m!}$ şartını sağlayan en büyük $x$ sayısı $$\begin{array}{rcl}
\Delta_p\left(\binom{n}{m}\right) &=& \Delta_p(n) - \Delta_p(n-m) - \Delta_p(m)\\
&=& \dfrac{n - \delta_p(n)}{p-1} - \dfrac{n-m - \delta_p(n-m)}{p-1} - \dfrac{m - \delta_p(m)}{p-1}\\
&=& \dfrac{\delta_p(m) + \delta_p(n-m) - \delta_p(n)}{p-1}
\end{array}$$ olacaktır.
Soruya dönersek; ilk önce, $m\prec_{p}n \Rightarrow p \nmid \binom{n}{m}$ olduğunu gösterelim:
$$m\prec_{p}n \Rightarrow \delta_p(m) + \delta_p(n-m) = \delta_p(n) \Rightarrow \Delta_p\left(\binom{n}{m}\right) = 0 \Rightarrow p \nmid \binom{n}{m} $$
Şimdi de $p \nmid \binom{n}{m} \Rightarrow m\prec_{p}n $ olduğunu gösterelim. Bu ifadenin karşıt tersi $m\not\prec_{p}n \Rightarrow p \mid \binom{n}{m}$ olur. Bu da
"$n-m$ ile $m$ nin $p$ tabanında toplamında elde varsa, $p \mid \binom{n}{m}$"
önermesi ile özdeştir. Aslında daha güçlüsünü ispat edeceğiz.
Kummer Teoremi: $n-m$ ile $m$ sayılarının $p$ tabanında toplamında, elde sayısı $\Delta_p\left(\binom{n}{m}\right) = \dfrac{\delta_p(m) + \delta_p(n-m) - \delta_p(n)}{p-1}$ ye eşittir.
İspat:Her basamaktaki elde $c_i = \begin{cases} 1, & a_i + k_i \geq p \\ 0, & a_i + k_i < p \\ \end{cases}$ şeklinde tanımlanır.
Ayrıca $n$ nin $p$ tabanındaki basamakları, $b_i = a_i + k_i + c_{i-1} - p\cdot c_i$ şeklinde tanımlanır. Özel olarak $c_{-1}=0$ alınabilir. Ayrıca $b_s$ hesaplanırken elde olmayacağı için $c_s = 0$ dır.
$$\begin{array}{rcl}
\delta_p(m) + \delta_p(n-m) - \delta_p(n) &=& \sum\limits_{i=0}^s a_i + \sum\limits_{i=0}^s k_i - \sum\limits_{i=0}^s b_i = \sum\limits_{i=0}^s (a_i+k_i-b_i)\\
&=& \sum\limits_{i=0}^s (pc_i - c_{i-1}) \\
&=& \sum\limits_{i=0}^s (p-1)c_i + \sum\limits_{i=0}^s (c_i - c_{i-1}) \\
&=& \sum\limits_{i=0}^s (p-1)c_i + c_s - c_{-1} \\
&=& \sum\limits_{i=0}^s (p-1)c_i
\end{array}$$ Bu durumda $\Delta_p\left(\binom{n}{m}\right) =\dfrac{\delta_p(m) + \delta_p(n-m) - \delta_p(n)}{p-1} = \sum\limits_{i=0}^s c_i$ $\blacksquare$
$ m\not\prec_{p}n \Leftrightarrow \sum\limits_{i=0}^s c_i > 0 \Rightarrow p \mid \binom{n}{m}$.
Not:Bu soru,
Lucas Teoremi ile doğrudan ilgilidir.
