(Bu problemdeki tüm denklikler $\bmod 13$ te incelenmiştir.)
İddia: $0 \leq k<12 $ için $$\sum_{x=0}^{12} x^k \equiv 0 $$
İspat: $k=0$ durumu açıktır, bu nedenle $k>0$ durumunu ele alalım. $g$, $\bmod 13$ te bir ilkel kök olsun; o zaman $g, 2g, \ldots, 12g$ sayıları $\{1,2, \ldots, 12\}$ kümesini oluşturur. Bu nedenle $$
\sum_{x=0}^{12} x^k \equiv \sum_{x=0}^{12}(g x)^k=g^k \sum_{x=0}^{12} x^k ;$$ $g^k \not \equiv 1$ olduğu için $\sum_{x=0}^{12} x^k \equiv 0$ olmalıdır. Bu, iddiamızı kanıtlar. $\blacksquare$
Şimdi, $S=\left\{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \mid 0 \leq x_i \leq 12\right\}$ kümesini düşünelim. $f\left(x_1, \ldots, x_n\right) \not \equiv 0$ olan $n$-lilerin sayısının $13$'e bölünebilir olması yeterlidir, çünkü $|S|=13^n$ sayısı $13$ ile bölünebilir. Şu toplamı ele alalım:
$$
\sum_{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in S}\left(f\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)^{12} .
$$
Bu toplam, $f\left(x_1, \ldots, x_n\right) \not \equiv 0$ olan $n$-lilerin sayısını sayar, çünkü Fermat'ın Küçük Teoremi'ne göre
$$
\left(f\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)^{12} \equiv \begin{cases}1, & f\left(x_1, \ldots, x_n\right) \not \equiv 0 \text { ise } \\ 0, & f\left(x_1, \ldots, x_n\right) \equiv 0 \text { ise }\end{cases}
$$
Öte yandan, $\left(f\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)^{12}$'yi uygun $N, c_j, e_{j i}$ sayıları ile aşağıdaki gibi açabiliriz: $$
\left(f\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)^{12}=\sum_{j=1}^N c_j \prod_{i=1}^n x_i^{e_{j i}}
$$ $f$'nin toplam derecesi $n$'den küçük olduğundan, her $j$ için $e_{j 1}+e_{j 2}+\cdots+e_{j n}<12n$ olmalıdır, bu nedenle her $j$ için $e_{j i}<12$ olan bir $i$ vardır. O halde, iddiamıza göre
$$
\sum_{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in S} c_j \prod_{i=1}^n x_i^{e_{j i}}=c_j \prod_{i=1}^n \sum_{x=0}^{12} x^{e_{j i}} \equiv 0
$$ dır; çünkü çarpımın içindeki toplamlardan biri $0$'dır. Bu nedenle
$$
\sum_{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in S}\left(f\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)^{12}=\sum_{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in S} \sum_{j=1}^N c_j \prod_{i=1}^n x_i^{e_j i} \equiv 0
$$ olur. Böylece $f\left(x_1, \ldots, x_n\right) \not \equiv 0$ olan $n$ lilerin sayısı $13$'e bölünebilir ve çözüm tamamlanır.
Kaynak: Mathematical Olympiads Problems and Solutions from Around the World 1998-1999, Syf. 152-153.
