Tersten gidelim, yani önce $a_{1997}$'i bulalım. $$a_{1998}=4a_{1997}(1-a_{1997})=0\implies a_{1997}=0 ~~\text{ veya } ~~a_{1997}=1$$ Eğer $a_{1997}=0$ ise başa döneriz ve $a_{1996}$ için aynı iki seçeneğimiz çıkar. Geriye giderken $k$ defa dizinin elemanının $0$ çıktığını varsayalım ($k=0,1,\dots,1997$ olabilir). $k=1997$ ise $t=0$'dır. $k=1996$ için de $t=1$'dir. İkisi de değilse, tersten $(k+1).$ dizi elemanını ($a_{k+1}$'i değil geriye doğru giderken elde ettiğimiz $(k+1).$ terimi) hesaplarken $1$ bulacağız, yani $a_{1997-k}=1$ olacaktır. $$4a(1-a)=1-(2a-1)^2$$ olduğundan $a_{1996-k}=\frac{1}{2}$ olacaktır. Amacımız bundan sonraki her hamlede $2$ adet potansiyel dizi elemanı bulabileceğimizi göstermektir. $4a(1-a)$ parabolunun alabileceği değerler $(-\infty,1]$ olduğunu görebiliriz. $a_{1996-k}$'dan daha geriye giderken karşımıza asla $1$ veya $0$ çıkamaz çünkü bu durumda o elemandan $a_{1996-k}$'ya gelirken dizi elemanı tekrar $0$ olur ve sıfırı tekrar etmeye başlar. Dolayısıyla geriye giderken $1$ ile karşılaşmayız ve eğer $a_i$ terimi $1$'den büyük değilse $a_{i-1}$'in alabileceği tam olarak $2$ değer olur. Bu işlem sırasında asla $1$'i aşamayacağımızı gösterelim. Farz edelim ki $i<1996-k$ için $a_i>1$ olsun. Bu durumda $$a_{i+1}=4a_i(1-a_i)<0$$ olacaktır. Yine $$a_{i+2}=4a_{i+1}(1-a_{i+1})<0$$ olacaktır ve bu şekilde devam edersek $a_{1996-k}$ da negatif olacaktır. Bu bir çelişkidir.
Yani $a_{1996-k}$'dan geriye giderken her dizi elemanında $2$ farklı ihtimalimiz olacaktır ve $a_1$'e ulaştığımızda $2^{1995-k}$ olası $t$ değeri elde ederiz. Bunların hepsi birbirinden farklıdır çünkü aynı olup farklı yollardan gelselerdi, bu $t$ değerlerinden $a_{1996-k}$'ya tek şekilde ulaşabildiğimizden dolayı farklı yollardan gelemezlerdi. Sonuç olarak $k=1997$ ve $k=1996$ için birer, geri kalan $k$'lar için $2^{1995-k}$ olası $t$ değeri vardır. Her $k$ için toplarsak $$1+1+2^0+2^1+\cdots+2^{1995}=2+(2^{1996}-1)=2^{1996}+1$$ adet olası $t$ değeri vardır.
Not: Soruyu genelleştirirsek $n\geq 2$ için $a_{n}=0$ olmasını sağlayan $2^{n-2}+1$ adet $t$ değeri vardır. Bunu fark edip tümevarım da uygulanabilir veya çözüm sayısı üzerinden yeni bir indirgemeli dizi tanımlanabilir.
