Tübitak Lise Takım Seçme 1998 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$|AB|=|AC|$ olmak üzere bir $ABC$ ikizkenar üçgeninin eşit kenarları üzerine, üçgenin dış bölgesinde kalacak şekilde $BAXX'$ ve $CAYY'$ kareleri çiziliyor. $[BC]$ nın herhangi bir $K$ noktasından $BY$ ve $CX$ doğrularına indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $E$ ve $F$, $[BC]$ nın orta noktası $D$ ile gösterilmek üzere, $\vert DE\vert =\vert DF\vert $ olduğunu ispatlayınız. $[EF]$ nın orta noktasının geometrik yerini bulunuz.

[geo]

$\angle BAC=2\alpha \Rightarrow \angle ABY=\angle AYB=\angle AXC=\angle XCA={45}^{\circ }-\alpha \Rightarrow \measuredangle \left(XC,\ YB\right)={90}^{\circ }$.

$XC\cap YB=\left\{N\right\}$ olsun. $\angle ABN=\angle ACN$ olduğu için $N\in AD$ dir. $BNC$ üçgeni $N$ açısı dik açı olan ikizkenar bir dik üçgendir. $ENFK$ bir dikdörtgendir. $ENFK$ dikdörtgeninin çevrel çemberinin merkezi $M$ olacaktır. $ENDK$ karşılıklı dik açıların toplamından dolayı kirişler dörtgeni olduğundan $D$ de bu çember üzerindedir. $ND$ açıortay olduğu için $DE=DF$ olur. $M$ merkezinden $ND$ kirişine inilen dikme $ND$ kirişini ortalar. Bu noktanın $D$ ye uzaklığı $\dfrac{DN}{2}=\dfrac{\frac{BC}{2}}{2}=\dfrac{BC}{4}=\text{Sabit}$ tir. Bu durumda $M$, $BC$ paralel olan ve $BC$ den uzaklığı $\dfrac{BC}{4}$ olan doğru üzerindedir. $M$ nin geometrik yerinin sınırları $K=B$ ve $K=C$ olduğunda elde edilir. Son durumda $M$ nin geometrik yeri $BN$ ile $CN$ doğru parçalarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır.