Tübitak Lise Takım Seçme 1997 Soru 3

[Lokman Gökçe]

Bir futbol liginde $x$ tane oyuncusu olan bir $X$ takımından $y$ tane oyuncusu olan bir $Y$ takımına bir futbolcu transfer olduğunda, $y\ge x$ ise federasyon $Y$ takımından $y-x$ milyar lira alıyor, $x>y$ ise federasyon $X$ takımına $x-y$ milyar lira ödüyor. Bir sezon boyunca bir futbolcu istediği kadar takım değiştirebiliyor. $18$ takımlık ligde sezona tüm takımlar $20$ şer futbolcu ile başlar ve sezon sonunda bu takımlardan $12$ sinde $20$ şer, geri kalan $6$ takımda ise sırasıyla $16,16,21,22,22,23$ futbolcu bulunursa, federasyon bu sezon süresince en çok kaç milyar lira kazanmış olabilir?

[geo]

En yüksek kazancın, bir oyuncunun daha küçük bir takıma gitmesine asla izin verilmeyerek elde edildiğini iddia ediyoruz. Kayıtları farklı bir şekilde tutabiliriz: $x$ oyunculu bir takım, bir oyuncu takas edilmeden önce $-x$'i veya bir oyuncu alındığında $x$'i yazar ve federasyonun kazancı bu sayıların toplamıdır. Şimdi, süreç sonunda $n>20$ oyuncuya sahip olan bir takım tarafından yazılan sayıları düşünelim. Eğer takımın süreç boyunca maksimum boyutu $k>n$ ise, o zaman sayılar $k-1$ ve $-k$ birbirini takip eder ve bunları silmek toplamı arttırır. Bu nedenle, bu takım için sayıların toplamı en az $20+21+\cdots+n-1$ olacaktır. Benzer şekilde, $n<20$ oyuncuya sahip bir takım için sayıların toplamı en az $-20-19-\cdots-(n+1)$ olacaktır. Bu sayılar, her zaman $20$'den az oyuncuya sahip bir takımdan başlayarak daha fazlasına sahip bir takıma takas yaparak yazılanlar olduğundan, bu düzenleme en yüksek kazancı sağlar. Bu durumda, toplam şu şekildedir:
$$
(20+20+21+20+21+20+21+22)-2(20+19+18+17)=17
$$

Kaynak: Mathematical Olympiads 1997–1998: Problems and Solutions from Around the World, Syf. 118-119.