Tübitak Lise Takım Seçme 1997 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$a_{1}=\alpha , b_{1}=\beta $ ve her $n\ge 1$ için $$a_{n+1}=\alpha a_{n}-\beta b_{n} \text{ , } b_{n+1}=\beta a_{n}+\alpha b_{n}$$ şeklinde tanımlanan $(a_{n})$ ve $(b_{n})$ dizilerinde $a_{1997}=b_{1}$ ve $b_{1997}=a_{1}$ olacak biçimde kaç $(\alpha ,\beta )$ gerçel sayı sıralı ikilisi vardır?

[geo]

$S_n = a_{n}^2+b_{n}^2$ olarak tanımlansın. $S_1=S_{1997}=\alpha ^2+ \beta ^2$ olacaktır.
Genel terim eşitliklerini, karelerini alarak toplayalım.
$$\begin{array}{rcl}
a_{n+1}^2 &=& \alpha^2 a_{n}^2+\beta^2 b_{n}^2 - 2 \alpha \beta a_n b_n \\
b_{n+1}^2 &=& \beta^2 a_{n}^2+\alpha^2 b_{n}^2 + 2  \alpha \beta a_n b_n\\
a_{n+1}^2 + b_{n+1}^2 &=& (\alpha ^2+\beta^2)(a_n^2+b_n^2)\\
S_{n+1} &=& (\alpha ^2+\beta^2)S_n
\end{array}$$
$S_n$ dizisi; $0<\alpha ^2+\beta^2<1$ için azalan, $1<\alpha ^2+\beta^2$ için artan olacaktır.Bu iki durumda $S_1 \neq S_{1997}$ olacağı için buralardan çözüm gelmez.

$\alpha ^2+\beta^2=0$ için $\alpha = \beta = 0$ bir çözümdür. ($a_n=b_n=0$)

$\alpha ^2+\beta ^2=1$ için çözüm asıl şimdi başlıyor diyebiliriz:
$\alpha = \cos x$ ve $\beta = \sin x$ olsun.
$a_2 = \alpha^2  - \beta^2 = \cos^2x - \sin^2 x = \cos 2x$ ve $b_2=2\alpha \beta = 2\cos x\sin x = \sin 2x$ olacaktır.
$a_3 = \cos x \cos 2x -\sin x \sin 2x = \cos 3x$ ve $b_3=\sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x = \sin 3x$ olur.
Sırayla devam ettirirsek $a_n = \cos nx$ ve $b_n=\sin nx$ elde ederiz. Alternatif olarak, tümevarımla $a_{n+1}= \cos x \cos nx - \sin x\sin nx = \cos (n+1)x$ ve $b_{n+1}= \sin x \cos nx + \cos x\sin nx = \sin (n+1)x$ iddiamızı doğrulayabiliriz.
$a_{1997}=b_1 \Longrightarrow \cos 1997x = \sin x$ ve $a_{1997}=b_1 \Longrightarrow \sin 1997x = \cos x$ çözmemiz gereken denklemler.

$$\cos 1997 x = \sin x = \cos (\pi/2 - x) = \cos (3\pi /2+x) \tag{a}$$
$1.$ durum: $1997x = \pi/2-x+ 2k\pi \Rightarrow 1998x = \frac{(4k+1)\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{(4k+1)\pi}{3996}$

$2.$ durum: $1997x = 3\pi/2+x+ 2k\pi \Rightarrow 1996x = \frac{(4k+3)\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{(4k+3)\pi}{3992}$

$$\sin 1997 x = \cos x = \sin (\pi/2 - x) = \sin (\pi /2+x)\tag{b}$$
$1.$ durum: $1997x = \pi/2-x+ 2k\pi \Rightarrow 1998x = \frac{(4k+1)\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{(4k+1)\pi}{3996}$

$2.$ durum: $1997x = \pi/2+x+ 2k\pi \Rightarrow 1996x = \frac{(4k+1)\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{(4k+1)\pi}{3992}$

$2.$ durumlardan ortak çözüm gelmez.
$1.$ durumlar için $x = \frac{(4k+1)\pi}{3996}$ ortak çözümdür.

$(\alpha, \beta) \in \{ (\cos \frac {\pi}{3996}, \sin \frac {\pi}{3996}), (\cos \frac {5\pi}{3996}, \sin \frac {5\pi}{3996}), \dots , (\cos \frac {(4\cdot 1997 + 1)\pi}{3996}, \sin \frac {(4\cdot 1997+1)\pi}{3996})\}$

kümesi tam olarak $1998$ elemanlıdır; çünkü bu kümenin herhangi iki elemanı $(\cos \frac{(4k_1+1)\pi}{3996}, \sin  \frac{(4k_1+1)\pi}{3996} )$ ve $(\cos \frac{(4k_2+1)\pi}{3996}, \sin  \frac{(4k_2+1)\pi}{3996} )$ için

$\cos \frac{(4k_1+1)\pi}{3996} = \cos  \frac{(4k_2+1)\pi}{3996} $ olması için  $\dfrac{4k_1+1+4k_2+1 }{3996}=2\pi$ olması gerekir ki $4 \not \mid 4k_1+4k_2+2$ olduğu için bu mümkün değildir.

O halde aradığımız yanıt; $1+1998=1999$ dur.

Kaynak:  Mathematical Olympiads 1997-1998 Problems and Solutions From Around The World

[geo]

Mathematical Olympiads 1997-1998 Problems and Solutions From Around The World kitabında cevap $1998$ olarak verilmiş. Sağlayan çiftler ise $(0, 0)$ ve $k=1,3,\dots , 3997$ olmak üzere $\theta = \pi k / 3998$ için $(\cos \theta,\sin \theta)$ olarak verilmiş.
Bu nedenle birisi yaptığım çözümü gözden geçirirse sevinirim.