Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 1996 Soru 1  (Okunma sayısı 1923 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3098
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 1996 Soru 1
« : Ağustos 08, 2013, 06:03:40 ös »
$\prod_{n=1}^{1996}{(1+nx^{3^n})}$ çarpımının, $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$ sıfırdan farklı ve $k_{1}<k_{2}<\ldots
<k_{m}$ olacak şekilde açılımını $1+a_{1}x^{k_{1}}+a_{2}x^{k_{2}}+\ldots +a_{m}x^{k_{m}}$ ile gösterelim. $a_{1996}$ katsayısını hesaplayınız.
« Son Düzenleme: Şubat 07, 2021, 12:05:04 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3098
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 1996 Soru 1
« Yanıtla #1 : Şubat 06, 2021, 07:25:34 ös »
Anlaşılırlık açısından ilk birkaç parantezi hesaplamakta fayda var. İlk beş parantezin açılımına bakalım

  $(1+x^3)(1+2x^9)(1+3x^{27})(1+4x^{81})$
$ = 30 x^{282} + 30 x^{279} + 15 x^{273} + 15 x^{270} + 10 x^{255} + 10 x^{252} + 5 x^{246} + 5 x^{243} \\ + 24 x^{120} + 24 x^{117} + 12 x^{111} + 12 x^{108} + 8 x^{93} + 8 x^{90} + 4 x^{84} + 4 x^{81} \\ + 6 x^{39} + 6 x^{36} + 3 x^{30} + 3 x^{27} + 2 x^{12} + 2 x^9 + x^3 + 1$

Parantez içindeki $x$'li terimlerin kuvvetleri $3$'ün kuvvetlerinden oluştuğundan açılımda elde edilen $x$'in kuvvetleri de $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \dots $ sayılarından bazılarının toplamından oluşmaktadır. Örneğin $24 x^{117}$ terimini inceleyelim: $117 = 3^{4} + 3^{3}+ 3^{2}$ olduğundan bu terim $(1+2x^9)(1+3x^{27})(1+4x^{81})$ çarpımındaki en büyük dereceli terimden üretilir. Bu ise $2x^9 \cdot 3x^{27}\cdot 4x^{81} = 24 x^{117}$ dir. Gerçekten yukarıdaki açılımdan da kontrol edilirse $x^{117}$'nin katsayısı $24$ tür.

Peki açılımda $x$'in kuvvetleri artan sırada yazılırsa ($1$ sabit terimini hesaba katmadan) $24x^{117}$ terimi, baştan kaçıncı terimdir? Bunu araştıralım: $117 = 3^{4} + 3^{4}+ 3^{2}= (11100)_3$ şeklinde $3$ lük sistemde yazabiliriz. Bu yazılışların sonu daima $0$ ile bitmelidir. Çünkü $x$'in kuvvetleri de $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \dots $ sayılarından bazılarının toplamından oluşmaktadır demiştik. Diğer rakamlar ise ya $1$ ya da $0$ olur. O halde bu sondaki sabit $0$ rakamını silersek geriye kalan $(1110)$ sayısını $2$ lik tabanda yazılmış olarak düşünebiliriz ve bu değer bize $24 x^{117}$ teriminin açılımdaki ($1$ sabit terimini hesaba katmadan) sıralamasını verir: $(1110)_2=14$ olduğundan $a_{14}=24$ tür. Bu sonucun doğruluğu yukarıda yaptığımız açılımdan da kontrol edilebilir.

Bu düşünce ile $1996=(11111001100)_2$ yazıldıktan sonra $a_{1996}x^{k_{1996}}$ terimini elde etmek için

$$ (1+3x^{3^3})(1+4x^{3^4})(1+7x^{3^7})(1+8x^{3^8})(1+9x^{3^{9}})(1+10x^{3^{10}})(1+11x^{3^{11}})  $$

açılımındaki en büyük dereceli terimini hesaplamalıyız. $a_{1996} = 3\cdot 4 \cdot 7\cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 = 665280$ ele edilir.



Not: Ayrıca $a_{1996}$ terimindeki $x$'in kuvveti sorulursa $k_{1996}=(111110011000)_3=264735$ bulunur.
« Son Düzenleme: Şubat 07, 2021, 12:05:19 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal