Tübitak Lise Takım Seçme 1995 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$b\ge a$ olmak üzere verilen $a,b$ gerçel sayıları için aşağıdaki sistemin tüm çözümlerini bulunuz. $$ \begin{array}{rcl}
x_{1}^{2}+2ax_{1}+b^{2} &=& x_{2} \\
x_{2}^{2}+2ax_{2}+b^{2} &=& x_{3} \\
\vdots & & \vdots \\
x_{n-1}^{2}+2ax_{n-1}+b^{2} &=& x_{n} \\
x_{n}^{2}+2ax_{n}+b^{2} &=& x_{1}
\end{array}$$

Not: Andreescu, Kedlaya, Zeitz e ait Mathematical Contests 1995-1996, Olympiad Problems and Solutions from around the World kitabında $b\geq a > 0$ olarak düzeltilmiş.

[geo]

Düzeltilmiş versiyona göre çözelim.

$b\geq a >0$ olduğu için $b^2\geq a^2$ dir. Bu durumda sistemi aşağıdaki gibi yazabiliriz:
$$\begin{array}{rcl} (x_{1}+a)^{2}+b^{2}-a^2 &=& x_{2} \\ (x_{2}+a)^{2}+b^{2}-a^2 &=& x_{3} \\ \vdots & & \vdots \\ (x_{n-1}+a)^{2}+b^{2}-a^2 &=& x_{n} \\ (x_{n}+a)^{2}+b^{2} -a^2&=& x_{1} \end{array}
$$
Bu da $x_i\geq 0$ olduğu anlamına gelir. Bu durumda $x_i+a>0$ olacağı için $x_{(i \bmod n) +1} >0$ olmalı.
$x_i$ sayılarından en büyüğü $x_1$ olsun. Son denklemden ilk denklemi çıkarırsak $(x_n+a)^2-(x_1+a)^2=x_1-x_2\geq 0$ elde ederiz. Bu durumda $x_n\geq x_1$ olacağı için $x_n=x_1$ olmalı. O zaman $x_1-x-2=0$, dolayısıyla $x_1=x_2=x_n$ olmalı.
İkinci denklemde $x_2=x_1$ yazarsak $x_3=x_2 = x_1$ elde edilir. Bu durumda $x_1=x_2=\dots = x_n = x$ olacaktır.
İlk denklemi yeniden yazarsak $x^2+(2a-1)x+b^2=0$ elde ederiz. Denklemin kökleri $\dfrac{1-2a\pm\sqrt{4a^2-4a+1-4b^2}}{2}$ dir.

$(2a-1)^2=(1-2a)^2\geq 4b^2$ olduğu için $1-2a\geq 2b\Longrightarrow a+b \leq \dfrac 12$ elde edilir.
$a+b=\dfrac 12$ iken $x=\dfrac 12 -a$ tek çözüm olacaktır.
Diğer durumlarda ($a+b<\dfrac 12$) iki çözüm gelecektir.

Not: $a=0$ olduğunda da, yani soru $b\geq a\geq 0$ şeklinde düzeltiğinde de yukarıdaki cevap geçerli oluyor.

[geo]

1. Adım: $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ gibi bir çözüm varsa, herbir $x_i$ pozitiftir. Çünkü $a>0$ olduğu için, $x^2+2 a x+b^2>0$ eşitsizliği her $x$ reel sayısı için sağlanır. Dolayısıyla, her denklemin sol tarafındaki sayı pozitif, ve bu nedenle sağ tarafındaki sayı yani, her bir $x_i$ pozitif olmak zorundadır.

2. Adım: $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ herhangi bir çözüm olsun. $x_1$ ve $x_2$ aşağıdakilerden birini sağlamak zorundadır:
$$1) \ x_1=x_2 \ ; \quad 2) \ x_2>x_1 \ ; \quad 3) \ x_2<x_1$$
$x_1=x_2$ ise, $x_1=x_2=\ldots=x_n$ olacaktır.
Gerçekten, ikinci eşitlikten birincisini taraf tarafa çıkarırsak,
$$
\begin{array}{lclc}
x_3-x_2 \quad &=& \left(x_2^2-x_1^2\right)+2 a\left(x_2-x_1\right) \qquad \quad & \qquad (1)
\end{array}$$ benzer şekilde, $$
\begin{array} {lclc}
x_4-x_3 &=& \left(x_3^2-x_2^2\right)+2 a\left(x_3-x_2\right) & \quad (2) \\
\vdots \\
x_n-x_{n-1} &=& \left(x_{n-1}^2-x_{n-2}^2\right)+2 a\left(x_{n-1}-x_{n-2}\right)  & \quad (n-2) \\
x_1-x_n &=& \left(x_n^2-x_{n-1}^2\right)+2 a\left(x_n-x_{n-1}\right)  & \quad (n-1) \\
\end{array}$$
$x_1=x_2$ olması durumunda $(1),(2), \ldots,(n-2),(n-1)$ eşitliklerinden $x_1=x_2=\ldots=x_n$ olduğu görülür.

Yine $(1) - (n-1)$ eşitliklerinden $x_2>x_1$ veya $x_1>x_2$ durumlarının mümkün olmadığı görülür. Örneğin, $x_2>x_1$ olursa, $$
x_3>x_2, x_4>x_3, \ldots, x_n>x_{n-1} \text { ve } x_1>x_n
$$ eşitsizlikleri ve dolayısıyla, $$
x_1>x_n>x_{n-1}>\ldots>x_3>x_2>x_1 \Longrightarrow x_1>x_1 $$ şeklinde bir çelişki elde edilir. Böylece, sistemin $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ çözümü varsa, $x_1=x_2=\ldots=x_n$ olmak zorundadır. Bu çözümü bulalım. $$
\begin{aligned}
x_1^2+2 a x_1+b^2=x_1 & \Longrightarrow x_1^2+(2 a-1) x_1+b^2=0 \\
& \Longrightarrow x_1=\frac{(1-2 a) \mp \sqrt{(1-2 a)^2-4 b^2}}{2} \\
& =\frac{(1-2 a) \mp \sqrt{[1-2(a+b)][1+2(b-a)]}}{2} .
\end{aligned}
$$ Karekök içindeki ifade negatif olmamalıdır. Bu nedenle $1-2(a+b) \geq 0$, $a+b \leq \frac{1}{2}$ olmalıdır. Buradan $$
a+a \leq a+b \leq \frac{1}{2} \Longrightarrow a \leq \frac{1}{4} \Longrightarrow 1-2 a \geq \frac{1}{2}>0
$$ olduğu da görülür. Sonuç olarak, $a+b \leq \frac{1}{2}$ koşulunun sağlanması halinde sistemin sadece iki çeşit çözümü vardır: $$
x_1=x_2=\ldots=x_n=\frac{(1-2 a)+\sqrt{(1-2 a)^2-4 b^2}}{2}
$$ ve $$
x_1=x_2=\ldots=x_n=\frac{(1-2 a)-\sqrt{(1-2 a)^2-4 b^2}}{2}
$$ (sağdaki sayıların pozitif olduğu açıktır). $a+b>\frac{1}{2}$ olduğunda, sistemin çözümü yoktur.

Kaynak: Sayılar Teorisinde İlginç Olimpiyat Problemleri ve Çözümleri, 2003, Syf. 78-70.