Tübitak Lise Takım Seçme 1992 Soru 4

[Lokman Gökçe]

$ABCD$ konveks kirişler dörtgeninin köşegenlerinin kesim noktasından $AB,BC,CD,DA$ kenarlarına indirilen dikmelerin ayakları sıra ile $P,Q,R,S$ noktaları olduğuna göre, $$PQ+RS=QR+SP$$ eşitliğini ispatlayınız.

[geo]

Köşegenlerin kesişim noktası $K$ olsun. $ABCD$ nin çemberinin yarıçapı $R$ olsun. $KQCR$, $KPBQ$, $KPAS$, $KSDR$ dörtgenleri çevrel yarıçapları sırasıyla $KC,KB,AK,BK$ olan birer kirişler dörtgenidir.

$ABCD$ dörtgenin iki köşegeni, diğer dört dörtgenin çap olmayan köşegenleri için Sinüs Teoremini uygulayalım. $$\dfrac{AC}{{\sin \widehat{B}\ }}=2R, \dfrac{BD}{{\sin \widehat{A}\ }}=2R\Rightarrow AC\cdot {\sin \widehat{A}=BD\cdot {\sin \widehat{B}\ }\ } \tag {*}$$
$\dfrac{RQ}{{\sin \widehat{C}\ }}=\dfrac{RQ}{{\sin \widehat{A}\ }}=KC\Rightarrow RQ=KC\cdot {\sin \widehat{A}\ }$.
Benzer şekilde $PS=AK\cdot {\sin \widehat{A}\ }$, $PQ=KB\cdot {\sin \widehat{B}\ }$ ve $RS=DK\cdot {\sin \widehat{B}\ }$. Buna göre $PQ+SR=BD\cdot {\sin \widehat{B}\ }$ ve $PS+RQ=AC\cdot {\sin \widehat{A}\ }$ olur.
$(*)$ e göre $PQ+RS=QR+SP$ dir.

[geo]

Köşegenlerin kesişim noktası $K$ olsun. $\angle CAB=\angle CDB$, $\angle KAP=\angle KSP$ ve $\angle KSR=\angle KDR$ eşitlikleri $\angle PSK=\angle KSR$ yani $PQRS$ dörtgeninde $SK$ yı açıortay yapar. Benzer şekilde $RK,PK,QK$ da açıortaydır. Bu durumda $PQRS$ bir teğetler dörtgeni yani $PQ+RS=QR+SP$ olur.