Her yolcu için $n$ seçenek olduğu için toplamda $n^p$ seçenek vardır.
$S_0:0,1,2,\dots n-1$ adet vagonun boş kaldığı durumlar.
$S_1:1,2,\dots n-1$ adet vagonun boş kaldığı durumlar.
$S_k:k,k+1,\dots n-1$ adet vagonun boş kaldığı durumlar.
$S_{n-1}:n-1$ adet vagonun boş kaldığı durumlar.
İçerme-Dışarma prensibine göre ${S=S}_0-S_1+S_2-\dots +{\left(-1\right)}^{n-1}S_{n-1}$ kümesi boş vagonun kalmadığı durumları verir. Dağıtım yapılacak vagonlar $\left( \begin{array}{c}
n \\
a \end{array}
\right)$ şekilde seçilebilir. Bu $a$ vagona $p$ kişi $a^p$ şekilde dağıtılabilir. Bu durumda $S_k=\left( \begin{array}{c}
n \\
n-k \end{array}
\right){\left(n-k\right)}^p$ olacaktır. Aradığımız değer $S=\ \sum^n_{k=0}{{\left(-1\right)}^k\left( \begin{array}{c}
n \\
n-k \end{array}
\right){\left(n-k\right)}^p}$. Bu durumda her vagonda en az bir yolcu bulunması olasılığı $\dfrac{\sum^n_{k=0}{{\left(-1\right)}^k\left( \begin{array}{c}
n \\
n-k \end{array}
\right){\left(n-k\right)}^p}}{n^p}$ dir. Aslında yukarıdaki ifade saymada bilinen bir sayının özel bir hali.
Stirling sayısı, $S\left(p,n\right)=\dfrac{1}{n!}\sum^n_{k=0}{{\left(-1\right)}^k\left( \begin{array}{c}
n \\
n-k \end{array}
\right){\left(n-k\right)}^p}$ şeklinde tanımlanan bir sayı. Bu durumda soruda bahsi geçen olasılık $P=\dfrac{S\left(p,n\right)n!}{n^p}$ olacaktır.
