Tübitak Lise Takım Seçme 1991 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}$ denklemini sağlayacak şekilde $a,b,c,d$ pozitif tam sayılarının bulunamayacağını gösterin.

[geo]

Sayıların hepsi çift olmalı. Sayıların hepsi tek ise; sol taraf çift, sağ taraf tek olur. Sayılardan en az bir tanesi çift olduğunda, $\bmod 4$ te sağ taraf $0$ olacak. Sol tarafın $\bmod 4$ te alabileceği değerler $\{1,2,3\}$ kümesinden olabilir. Bu durumda sayıların hepsi çifttir. $a,b,c,d>0$ olduğu için $a,b,c,d>1$ dir. Pozitif çift sayılarda $$\dfrac{y}{y-1}<2\le x\Rightarrow y<xy-x\Rightarrow x+y<xy$$ bağıntısı vardır. $$a^2+b^2<a^2b^2 \text { ve } c^2+d^2<c^2d^2 \Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2<a^2b^2+c^2d^2<a^2b^2c^2d^2.$$ Buna göre $a^2+b^2+c^2+d^2=a^2b^2c^2d^2$ denkliğinin pozitif tamsayılarda çözümü yoktur.