Tübitak Lise Takım Seçme 1990 Soru 6

[Lokman Gökçe]

$k\geq 2$ ve $n_1,\dots, n_k \in \mathbf{Z}^+$ olsun. Eğer $n_2 | (2^{n_1} -1)$, $n_3 | (2^{n_2} -1)$, $\dots$, $n_k | (2^{n_{k-1}} -1)$, $n_1 | (2^{n_k} -1)$ ise, $n_1 = \dots = n_k = 1$ olduğunu gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Herhangi bir $i$ için $n_i=1$ ise diğer değişkenlerin de $1$ olması gerektiği görülebilir. O halde $n_1=\cdots=n_k=1$ doğru değilse her $i=1,2,\dots,k$ için $n_i\neq 1$ olmalıdır. Çelişki bulmak için bölünebilmelerin doğru olduğunu ama $n_i\neq 1$ olduğunu kabul edelim. Bu durumda $n_i$'lerin asal bölenleri vardır. Bu asalların en küçüğü $q$ olsun ve $q\mid n_j$ diyelim. $q$ tek olmak zorundadır. Bu durumda $$q\mid (2^{n_{j-1}}-1)$$ olacaktır ($n_0=n_k$ olarak alalım). $2$'nin $q$ modunda mertebesi $d$ olsun. Bu durumda $d\mid n_{j-1}$ ve $d\mid q-1$ olacaktır. $n_{j-1}$'in en küçük asal böleni bile $q$'dan küçük olamaz. Bu yüzden $d\leq q-1$ olan $d$'nin asal böleni olması imkansızdır. Yani $d=1$ olmalıdır. Bu durumda da $$2^d-1\equiv 1\equiv 0\pmod{q}$$ elde edilir ki bu da çelişkidir. Dolayısıyla böyle bir $q$ yoktur. Demek ki hiçbir $n_i$'in asal böleni yoktur. Hepsi $1$ olmalıdır.

[Eray]

AoPS'ta meşhur Problems in Elementary Number Theory (veya Başlangıç Sayılar Teorisi Soruları) şeklinde açılımı olan PEN isimli sayılar teorisi soru arşivinde bu soruya yer verilmiş.

PEN Problems

PEN A kısmında 15. soru