Tübitak Lise Takım Seçme 1990 Soru 5

[Lokman Gökçe]

$m$ pozitif tam sayısı için $(m!)$ sayısındaki $2$ çarpanlarının sayısını $b_m$ ile gösterelim. (Yani $2^{b_m} | m!$ ve $2^{b_m + 1} \nmid m!$). $m-b_m=1990$ koşulunu sağlayan en küçük $m$ sayısını bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

Kullanmasının daha kolay olduğunu düşündüğümden $b_m$ yerine $v_2(m)$ gösterimini kullanacağım. Buradaki sorunun ispatındaki iki iddiayı kullanacağız. Burada iddiaları tekrar gösterelim ama ispatları bağlantısını verdiğim gönderide bulunabilir.

İddia 1: $n$ pozitif tamsayısı için $v_2\left (\dbinom{2n}{n}\right )=n-v_2(n!)$'dir.

İddia 2: $a_1>a_2>\cdots>a_k$ için $n=2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots +2^{a_k}$ ise $v_2\left (\dbinom{2n}{n}\right )=k$ olacaktır.

Bu iki iddiayı kullanırsak aradığımız $m$'nin $a_{1990}>a_{1989}>\cdots>a_{1}$ için $m=2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots +2^{a_{1990}}$ formatında olması gerektiğini görebiliriz. En küçük $m$ için $a_i=i-1$ olarak seçmeliyiz. Bu durumda $$m=1+2^1+2^2+\cdots+2^{1989}=2^{1990}-1$$ olacaktır.