Tübitak Lise Takım Seçme 1990 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$x_i$ reel sayıları için $$x_1 + x_2 + x_3 = 0 \text{ ise } x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 \leq 0$$ eşitsizliği her zaman doğrudur; (Kanıtlayınız.)
Hangi $n\geq 4$ tam sayıları için $$x_1 + x_2 + \dots + x_n = 0 \text { ise } x_1x_2 + x_2x_3 + \dots + x_{n-1}x_n + x_nx_1 \leq 0$$ eşitsizliği her zaman doğru olur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

[ArtOfMathSolving]

İlk maddeyi ispatlayalım ;

Faydalı eşitsizlikten,
$\sum x_{1}^2\geq \sum x_{1}x_{2}\Rightarrow \sum x_{1}^2 =(\sum x_{1})^2-2\sum x_{1}x_{2}\geq \sum x_{1}x_{2}$ ve buradan da

$(\sum x_{1})^2\geq 3(\sum x_{1}x_{2})= 0\geq \sum x_{1}x_{2}$ bulunur.

İkinci madde;

$n=2k,k\in \mathbb{Z}$ olarak alalım , Sayılar;

$x_{i}=0$ veya $x_{n-1}=-x_{n}$

$x_{n}=-x_{1} $formunda olacaktır.(Herhangi 2'li 3'lü veya $n$'li birbirinin zıt işaretlisi olacaktır.)

$-(\sum x_{1})^2\geq \sum x_{1}x_{2}$ ve $0\geq -(\sum x_{1}^2) $olduğundan,Her

$n\geq 4,n=2k,k\in\mathbb{Z}^+$ için eşitsizlik sağlanır.

Yanlış veya eksil yaptığım bir yer varsa lütfen düzeltin.