Tübitak Lise Takım Seçme 1990 Soru 1

[Lokman Gökçe]

Bir $d$ doğrusuna sıra ile $A$, $B$, $C$ noktalarında teğet olan ($a>c>b$) $a$, $b$, $c$ yarıçaplı $k_1$, $k_2$, $k_3$ çemberleri veriliyor. $k_1$ çemberi $k_2$ ye ve $k_2$ çemberi de  $k_3$ çemberine teğettir. $k_3$ çemberine $E$ noktasında değen ve $d$ ye paralel olan teğet, $k_1$ çemberini $D$ noktasında kesiyor. $EB$ doğrusu, $d$ doğrusuna $A$ da dik olan doğruyu $F$ noktasında kestiğine göre, $AD=AF$ olduğunu ispat ediniz.

[geo]

Çemberlerin merkezleri $O_1$, $O_2$, $O_3$ olsun.
$O_1O_2BA$ dik yamuğunda, $AB=2\sqrt {ab}$.
$O_2O_3CB$ dik yamuğunda, $BC=2\sqrt {bc}$.
$\triangle FAB \sim \triangle ECB$ $(A.A)$ olduğu için $$\dfrac {FA}{CE} = \dfrac {AB}{BC} \Rightarrow FA = 2\sqrt {ac}$$
$ED$ ile $AF$ doğruları $H$ de kesişsin. $k_1$ çemberinin bir çapı $AI$ olsun.
$CE=AH=2c$ ve Öklit'ten $$AI\cdot AH = AD^2 \Rightarrow 2a\cdot 2c = AD^2 \Rightarrow AD = 2\sqrt {ac} = FA$$

[sgmx]

$k_{1}\bigcap k_{2}=K$, $k_{2}\bigcap k_{3}=L$ olsun. $BK$ doğrusu, $FA$ ve $EC$ doğrularını sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında kessin. $\angle BKA=\angle CLB=90^{\circ}$ olacağı açıktır. Aynı açılar işaretlenince $F,A,K,L,C,N$ noktalarının çembersel olduğu görülür. $AF\Vert CN$ paralel kirişlerden $AF=CN$ olur. Şimdi;
\[
\triangle AFB\sim\triangle CEB\Longrightarrow\frac{AF}{CE}=\frac{AB}{CB},\,\,\,\triangle CBN\sim\triangle ABM\Longrightarrow\frac{CN}{AM}=\frac{CB}{AB}
\]
eşitliklerinden $AF=CN$ olduğu göz önüne alınırsa $AF^{2}=CE\cdot AM$ olur. $AM\bigcap DE=T$ dersek, $\triangle ADM$ de öklitten:
\[
AD^{2}=AT\cdot AM=CE\cdot AM=AF^{2}\Longrightarrow AD=AF
\]
 olur.