Tübitak Lise 2. Aşama 1992 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$a,b,c,d$ pozitif reel sayıları için $$ \dfrac {12}{a+b+c+d} \leq \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{a+c} + \dfrac{1}{a+d} + \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{b+d} + \dfrac{1}{c+d} \leq \dfrac{3}{4}\left(\dfrac 1a + \dfrac 1b + \dfrac 1c + \dfrac 1d \right) $$ eşitsizliklerinin doğru olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

(Lokman GÖKÇE)

Aritmetik - harmonik ortalama eşitsizliğini kullanacağız

İlk olarak eşitsizliğin sol tarafının ispatını yapalım:

$\dfrac{(a+b)+(c+d)}{2} \geq \dfrac{2}{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+d}}$ olup $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+d} \geq \dfrac{4}{a + b + c+d}$ yazılır. Benzer şekilde

$\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+d} \geq \dfrac{4}{a + b + c+d}$ ve $\dfrac{1}{a+d}+\dfrac{1}{b+c} \geq \dfrac{4}{a + b + c+d}$ yazıp bu $3$ eşitsizliği taraf tarafa toplarsak $$\dfrac{12}{a+b+c+d} \leq \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}+ \dfrac{1}{a+d}+\dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{b+d}+\dfrac{1}{c+d}$$ elde edilir.

Şimdi eşitsizliğin sağ tarafının ispatını yapalım:

$\dfrac{a+b}{2} \geq \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}$ olduğundan $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a+b}$ dir. Benzer şekilde

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{4}{a+c}$, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{d} \geq \dfrac{4}{a+d}$, $\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{4}{b+c}$, $\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d} \geq \dfrac{4}{b+d}$, $\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} \geq \dfrac{4}{c+d}$ olup bu $6$ eşitsizliği taraf tarafa toplarsak $$ \dfrac{1}{a+b}+ \dfrac{1}{a+c}+ \dfrac{1}{a+d}+ \dfrac{1}{b+c}+ \dfrac{1}{b+d}+ \dfrac{1}{c+d} \leq \dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \right) $$ sonucuna ulaşılır.