Tübitak Lise 2. Aşama 2008 Soru 5

[geo]

 Düzlemde bir $\Gamma $ çemberi ve onu kesmeyen bir $\ell$ doğrusu verilmiş olsun. $PQ\cap RS=\lbrace A\rbrace $ ve $PS\cap QR=\lbrace B\rbrace $ olacak biçimde, $\Gamma $ çemberi üstünde $P,Q,R,S$ noktalarının bulunmasını sağlayan ve $\ell$ doğrusu üstünde yer alan tüm $\lbrace A,B\rbrace $ nokta ikilileri için, $\lbrack AB\rbrack $ yi çap alan çemberlerin kesişim kümesini belirleyiniz.

(Serhat Doğan)

[geo]

$QS\bigcap PR=C$ ve $\Gamma $ nin merkezi $O$ olsun. Brocard Teoremi'nde verilen notu kullanarak; AB çaplı çember $\Delta $olmak üzere $\Delta $ nın $\Gamma $ ya dik olduğunu söyleyebiliriz. Diğer taraftan, $\Delta $ nın çapı $l$ doğrusu üzerinde bulunduğundan, $\Delta $ çemberi $l$ ye diktir. ($T_{7} $) dan: $l$ yi ve $\Gamma $ yı çakışık merkezli iki $l^*$ ve $\Gamma ^*$ çemberine gönderen bir evirtim vardır. Bu evirtime göre $\Delta $; bu çakışık merkezli iki çembere dik olan bir doğru veya çembere evirilir. Çünkü evirtim açıları değiştirmez. Fakat bir çemberin merkezdeş iki farklı çembere aynı anda dik olması mümkün olmadığından, (Bunun mümkün olması için iki merkezdeş çemberin ikisi için de yapılan evirtimlerde $\Delta $ nın evriğinin sabit kalması gerekir fakat bu mümkün değildir.)  $\Delta $ nın evriği bu çakışık merkezli iki çembere dik olan bir doğrudur. $E(\Delta )=d^*$ olsun. Fakat $d^*$ 'nin bir doğru olması ancak ve ancak evirtim merkezinin $\Delta $çemberi üzerinde olması ile mümkündür. Diğer taraftan, evirtim merkezi Lemma'ya göre $O$ dan yani $\Gamma $ nin merkezinden $l$ ye inilen doğru üzerinde bulunan iki sabit noktadan birisi olması gerektiğinden, $AB$ çaplı çember sabit iki evirtim merkezinden geçen bir çember olmalıdır. Dolayısıyla $AB$ çaplı çemberlerin geometrik yeri, bu iki sabit evirtim merkezidir. $\square $

NOT:
Bu çözüm, Zeyd Yusuf Köroğlu ve Mehmet Efe Akengin'in "Evirtim'' adlı matematik projesinden alınmıştır.

[geo]

(Mehmet KAYSİ)

Miguel Teoremi'nden $APS$ ve $BSR$ çemberleri $AB$ üzerinde kesişirler, kesiştikleri nokta $K$ olsun.
$$AP\cdot AQ=AS\cdot AR=AK\cdot AB$$ $$BR\cdot BQ=BS\cdot BP=BK\cdot BA$$ Aynı zamanda $AP\cdot AQ=AO^2-r^2$ ve $BR\cdot BQ=BO^2-r^2$ ($r$ verilen çemberin yarıçapı, $O$ ise merkezi ), dolayısıyla
$AO^2-r^2=AK^2+AK\cdot KB$ ve $BO^2-r^2=BK^2+AK\cdot KB$. Buradan $AO^2-AK^2=BO^2-BK^2=AK\cdot KB+r^2$ bulunur.
$AO^2-AK^2=BO^2-BK^2$ olduğundan $OK\bot AB$ ve $OK^2=AK\cdot KB+r^2$ $\Rightarrow$ $AK\cdot KB=OK^2-r^2$, dolayısıyla $AK\cdot KB$ sabittir. $OK$ doğrusu üzerinde $\sqrt{AK\cdot KB}=\left|KX\right|$ şartını sağlayan noktalar $AB$ çaplı çember üzerinde bulunur.