(Eren DURLANIK)
${\max \left\{a_i\right\}\ }=K$ olsun.
İddia: $a_i$ dizisinin üstten sınırı vardır.
İspat: ${\max \left\{a_1,\ a_2,\ \dots ,a_N\right\}\ }=K$ olsun. $i=1,\ 2,\ \dots ,\ m-1$ için $a_i \leq K$ olsun. $a_m \leq K$ olduğunu gösterelim. $i \leq m-K-1$ için $a_i \leq K$ olduğundan $a_i+i<m$ olur ve dizinin tanımı gereği $a_m \leq K$ bulunur ve iddianın ispatı tamamlanır.
İddia: $a_i$ dizisi bir yerden sonra periyodik devam eder.
İspat: İlk iddiadan $a_i$ terimi yalnızca kendinden önceki $K$ terime bağlıdır. Dizinin alttan ve üstten sınırı da olduğundan $\left\{a_{m+1},\ a_{m+2},\dots ,\ a_{m+K}\right\}=\{a_{s+1},a_{s+2},\dots ,\ a_{s+K}\}$ olan $m$ ve $s$ bulunmaktadır. Dizi de yalnızca kendinden önceki $K$ terime bağlı olduğundan, $a_{m+i}=a_{s+i}$ olur ve dizi $a_m$ teriminden sonra $s-m$ periyoduyla devam eder ve iddianın ispatı tamamlanır.
Dizi $a_L$ teriminden itibaren periyodik olsun. ${\max \left\{a_i\ \right|\ }\ i \geq L\}=M$ olsun. Bundan sonra dizinin yalnızca $a_L$ den sonraki kısmını inceleyelim. Dizinin tanımından dizi yalnızca kendinden önceki $M$ terime bağlı olarak değişir.
İddia: $a_i=M$ ise $a_{i-M}=M$ dir.
İspat: Dizinin tanımından ve her terim yalnızca kendinden önceki $M$ terime bağlı olduğundan $a_{i-1} \geq1,\ a_{i-2} \geq2,\ \dots ,a_{i-M} \geq M$ dir. Dolayısıyla $a_{i-M}=M$ olur ve iddianın ispatı tamamlanır.
İddia: $a_k<M-1$ ise $a_{k+M-1}<M-1$ dir.
İspat: Öncelikle $a_{k-1}=M$ olamayacağını gösterelim. Diyelim $a_{k-1}=M$ olsun. Dizinin periyoduna $t$ dersek $a_{k+tM-1}=M$ olur. Bir önceki iddiayı da kullanarak $a_{k+M-1}=M$ olur. Fakat $a_k+k<k+M-1$ olduğundan ve her terim önceki $M$ terime bağlı olduğundan $a_{k+M-1}<M$ olur ve çelişki elde ederiz. Yani $a_{k-1}<M$ olmalıdır. Bu kez de $a_{k-1}+k-1<M$ olacağından $a_{k+M-1}<M-1$ elde ederiz ve iddianın ispatı tamamlanır.
Şimdi $a_k<M-1$ olamayacağını gösterelim. Diyelim $a_k<M-1$ olsun. $a_n=M$ olan bir $n$ alalım. Dizinin periyoduna $t$ dersek $a_{n+tM}=M$ olur. Daha önce ispatladığımız iddialardan da $a_n=a_{n+m}=\dots =a_{n+lm}=\dots =M$ olur. Son iddiayı kullanarak $a_k<M-1$ olduğundan $a_{k+l\left(M-1\right)}<M-1$ elde ederiz. $k+l(M-1) \equiv n \pmod M$ olan $l$ bulunur; çünkü $M-1$ ile $M$ aralarında asaldır. Öyleyse bu $l$ için $a_{k+l\left(M-1\right)}=M$ olur; fakat $a_{k+l\left(M-1\right)}<M-1$ olmalıydı, çelişki elde ettik. Yani $a_k<M-1$ olamaz. Öyleyse $a_i$ dizisi yalnızca $M-1$ ve $M$ değerlerini sonsuz kez alabilir, yani cevabımız en fazla $2$ dir. Şimdi de cevabın $2$ olduğu duruma örnek verelim.
$a_1=a_2=\dots =a_{N-2}=0,\ a_{N-1}=1,\ a_N=2$ alırsak $a_n$ dizisi $a_N$ den itibaren $2,1,2,1,\dots$ şeklinde devam eder ve böylece dizi $2$ değerini sonsuz kez alır.
