Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2005 Soru 5  (Okunma sayısı 1835 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1713
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2005 Soru 5
« : Ağustos 06, 2013, 04:37:09 öö »
Kenar uzunlukları $a,b,c$ ve iç teğet çemberinin yarıçapı $r$ olan bir üçgende, $$\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\le \dfrac{1}{4r^{2}}$$ olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ağustos 27, 2013, 04:28:40 ös Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1713
  • Karma: +8/-0
Ynt: 5 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 06, 2013, 05:14:20 öö »
$$\sqrt{u\left(u-a\right)\left(u-b\right)\left(u-c\right)}=ur\Rightarrow \left(u-a\right)\left(u-b\right)=\dfrac{ur^2}{\left(u-c\right)}$$ $$\dfrac{(u-a)+(u-b)}{2}\ge \sqrt{\left(u-a\right)\left(u-b\right)}$$ $$\Rightarrow c\ge 2\sqrt{\left(u-a\right)\left(u-b\right)}$$ $$\Rightarrow \dfrac{1}{c^2}\le \dfrac{1}{4\left(u-a\right)\left(u-b\right)}=\dfrac{u-c}{4ur^2}$$
Benzer şekilde, $\dfrac{1}{a^2}\le \dfrac{u-a}{4ur^2\ }$ ve $\dfrac{1}{b^2}\le \dfrac{u-b}{4ur^2}$ elde edilir. Taraf tarafa topladığımızda,
$$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\le \dfrac{u-a}{4ur^2}{\rm +}\dfrac{u-b}{4ur^2}+\dfrac{u-c}{4ur^2}=\dfrac{3u-2u}{4ur^2}=\dfrac{1}{4r^2}$$ elde ederiz. Eşitlik $a=b=c$ iken sağlanır.
« Son Düzenleme: Ağustos 19, 2013, 06:35:06 ös Gönderen: bosbeles »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal