Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2005 Soru 4  (Okunma sayısı 1853 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1713
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2005 Soru 4
« : Ağustos 06, 2013, 04:36:55 öö »
$5^{m}+7^{n}=k^{3}$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n,k)$ negatif olmayan tam sayı üçlülerini bulunuz.
« Son Düzenleme: Ağustos 27, 2013, 04:28:37 ös Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1713
  • Karma: +8/-0
Ynt: 4 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 06, 2013, 05:13:47 öö »
Denklemi $\bmod 4$'te incelediğimizde $1^m + (-1)^n \equiv 0,1,0,3 \pmod 4$ olacağı için $n$ tek olmalı.

$\bmod 7$'de
$5^m$ in kalan sınıfı $\{5,4,6,2,3,1\}$,
$k^3$ in kalan sınıfı $\{1,1,6,1,6, 6, 0\}$
olduğu için $m \equiv 3 \pmod 6$ yani $m=3a$ olmalı.
Bu durumda denklem $5^{3a} + 7^n = k^3$ e dönüşür.
$7^n = k^3 - (5^a)^3 \Rightarrow 7^n = (k - 5^a)\left( (k-5^a)^2 + 3\cdot k \cdot 5^a  \right )$
İkinci çarpan ilkinden büyük olduğu için $k-5^a \equiv 0 \pmod 7$ olduğunda $3\cdot k \cdot 5^a \equiv k \equiv 0 \pmod 7$ gerekeceği için $k-5^a \equiv 0 \pmod 7$ olamaz.
Bu durumda geriye sadece $k-5^a = 1$ durumu kalıyor. Yerine yazarsak $1+3\cdot k\cdot 5^a = 7^n$ elde ederiz. $a\geq 1$ için $\bmod 5$'te incelersek, $n \equiv 0 \pmod 4$ elde ederiz ki bu başlangıçta bulduğumuz $n$ tek olmalı yargısıyla çelişir. O halde $a\geq 1$ için bir çözüm yok.
Geriye sadece $a=0$ ve dolayısıyla $k-5^a = 1 \Rightarrow k=2$ durumu kalıyor. Bu durumda denklemin tek çözümü $(m,n,k)=(0,1,2)$ oluyor.
« Son Düzenleme: Ağustos 24, 2013, 11:11:52 öö Gönderen: bosbeles »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal