Tübitak Lise 2. Aşama 2005 Soru 2

[geo]

$\vert CB\vert >\vert AC\vert >|AB|$ koşulunu sağlayan bir $ABC $ üçgeninde, $\lbrack AC\rbrack $ nın orta dikmesi $\lbrack BC\rbrack $ yi $K$; $\lbrack BC\rbrack $ nin orta dikmesi de $AC$ yi $L$ de kesiyor. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$; $CKL$ ve $OAB$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri de sırasıyla $ O_{1}$ ve $O_{2}$ olmak üzere, $OCO_{1}O_{2}$ dörtgeninin bir paralelkenar olduğunu gösteriniz.

[geo]

$\angle ALB=2\angle ACB=\angle AKB=\angle AOB$ olduğu için, $A,L,O,K,B$ noktaları çemberseldir. $LK$ doğru parçası, $O_1$ ve $O_2$ merkezli çemberlerin ortak kirişi olduğu için, $O_1O_2$ doğrusu, $LK$ doğru parçasının orta dikmesidir. Benzer şekilde $OO_2$ doğrusu, $AB$ doğru parçasının orta dikmesidir.

Bu durumda, $\angle ACB=\angle AOO_2$ ve $\angle COA=2\angle CBA$ ve $\angle COO_2=2\angle CBA+\angle ACB$.
$ALKB$ kirişler dörtgeninde, $\angle ABC=\angle ABK=\angle CLK$ olduğu için, $\angle CO_1K=2\angle CLK=2\angle ABC$ olacaktır. $\angle O_2O_1K=\dfrac{\angle AO_1K}{2}=\angle ACK$ olduğundan $\angle CO_1O_2=2\angle ABC+\angle ACB$ elde edildi. Bu durumda $\angle CO_1O_2=\angle COO_2=2\angle ABC+\angle ACB$
$=\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC-\angle BAC+\angle ABC={180}^{\circ }-\left(\angle BAC-\angle ABC\right)$ olur.
$\angle CO_1K=2\angle ABC$ ve $\angle COB=2\angle CAB$ olduğu için, $\angle O_1CO=\angle O_1CK-\angle OCK$
$={90}^{\circ }-\angle ABC-\left({90}^{\circ }-\angle BAC\right)=\angle BAC-\angle ABC={180}^{\circ }-\angle CO_1O_2$ olur.
Böylelikle, $CO_1O_2O$ bir paralelkenar olmuş oldu.