Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2001 Soru 2  (Okunma sayısı 1788 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1765
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2001 Soru 2
« : Ağustos 06, 2013, 04:28:09 öö »
Bir $(x_n)_{-\infty < n < \infty}$ gerçel sayı dizisi, her $n$ tam sayısı için, $$x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+10}{7}$$ bağıntısını sağlıyor. Bütün $n$ tam sayıları için $x_{n} < M$ olmasını sağlayan bir $M$ gerçel sayısı varsa, $x_0$ teriminin alabileceği tüm değerleri bulunuz.
« Son Düzenleme: Ekim 17, 2013, 11:20:25 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı Squidward

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 68
  • Karma: +3/-0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2001 Soru 2
« Yanıtla #1 : Temmuz 29, 2020, 09:49:01 ös »
İddia: $x_0 \in [0,5]$ için bir $M$ sayısı bulunabilir.

İspat:

$\dfrac{x_{-1}^2+10}{7} > 0$ olduğundan $x_0$ negatif olamaz, aslında her $n$ için $x_n \gt 0$'dır.

$x_{n+1} - x_{n} = \dfrac{x_n^2+10}{7} - x_n = \dfrac{x_{n}^2 - 7x_n+10}{7} = \dfrac{(x_n - 5)(x_n - 2)}{7}$, $x_n \notin [2, 5]$ için sıfırdan büyüktür yani $x_n \notin [2, 5]$ için dizi artandır.

$x_0 > 5$ için $x_n < M$ olmasını sağlayan bir $M$ gerçel sayısının varlığı için dizinin üstten limiti var olmalıdır, $L = \lim_{n \to \infty} x_n$ dersek $L = \dfrac{L^2+10}{7}$ için $L = 2$ veya $L = 5$ elde edilir fakat dizinin artanlığından bu mümkün değildir.

$5 \ge x_0 \ge 2$ için $x_n \ge 0$ olduğundan $5 \ge x_0 \ge 2 \iff 25 \ge x_0^2 \ge 4 \iff 35 \ge x_0^2 + 10 \ge 14 \iff 5 \ge \dfrac{x_0^2+10}{7} = x_1 \ge 2$ elde edilir tümevarımdan tüm $n > 0$ için $5 \ge x_n \ge 2$'dir.  $5 \ge \dfrac{x_{-1}^2+10}{7} \ge 2$ aynı şekilde $5 \ge x_{-1} \ge 2$ elde edilir tümevarımdan $n \lt 0$ için $5 \ge x_n \ge 2$ olur.

$2 \gt x_0$ için $x_n \ge 0$ olduğundan $2 \gt x_0 \iff 4 \gt x_0^2 \iff 14 \gt x_0^2 +10 \iff 2 \gt \dfrac{x_0^2+10}{7} = x_1$ elde edilir tümevarımdan $n>0$ için $x_n \lt 2$ elde edilir. $2 \gt \dfrac{x_{-1}^2+10}{7}$'den aynı şekilde $2 \gt x_{-1}$ elde edilir tümevarımdan $n\lt0$ için $x_n \lt 2$ elde edilir, kanıtı bitirdiği açıktır.

« Son Düzenleme: Temmuz 29, 2020, 09:53:05 ös Gönderen: Squidward »
ibc

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal