Tübitak Lise 2. Aşama 2001 Soru 1

[geo]

Konveks bir $ABCD$ dörtgeninin $\lbrack AD\rbrack $ ve $\lbrack BC\rbrack $ kenarlarının orta dikmeleri bu dörtgenin iç bölgesindeki bir $P$ noktasında; $\lbrack AB\rbrack $ ve $\lbrack CD\rbrack $ kenarlarının orta dikmeleri de dörtgenin iç bölgesindeki bir $Q$ noktasında kesişiyor. $\widehat{APD}=\widehat{BPC}$ ise, $\widehat{AQB}=\widehat{CQD}$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$\angle APD=\angle BPC$ olduğu için $\angle BPD=\angle APC$ ve $\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{PD}{PA}=1$ olduğu için de $K.A.K$ dan $\triangle PAC\cong \triangle PDB$ elde edilir. Yani $AC=BD$ dir.

Benzer mantıkla $\dfrac{BQ}{QA}=\dfrac{QD}{QC}=\dfrac{BD}{AC}=1$ olduğu için $K.K.K$ dan $\triangle QBD\cong \triangle QAC$ eşliği elde edilir. Bu durumda $\angle AQC=\angle BQD$ elde edilir. Buradan da $$\angle AQC-\angle BQC=\angle BQD-\angle BQC\Rightarrow \angle AQB=\angle CQD$$ elde edilir.