Tübitak Lise 2. Aşama 1999 Soru 5

[geo]

Çevrel çemberinin yarıçapı $R$ olan dar açılı bir $A_{1}A_{2}A_{3}$ üçgeninde, $A_{1}$, $A_{2}$ ve $A_{3}$ noktalarından geçen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $Y_{1}$, $Y_{2}$ ve$Y_{3}$, $\vert A_{1}Y_{1}\vert =h_{1}$, $\vert A_{2}Y_{2}\vert =h_{2}$, $\vert A_{3}Y_{3}\vert =h_{3}$; $A_{1}$, $A_{2}$ ve $A_{3}$ noktalarından $(Y_{1}Y_{2}Y_{3})$ çemberine çizilen teğetlerin uzunlukları da sırasıyla $t_{1}$, $t_{2}$ ve $t_{3}$ ile gösterilmek üzere, $$
\sum_{i=1}^{3}{\left(\dfrac{t_{i}}{\sqrt{h_{i}}}\right)^{2}\le \dfrac{3}{2}R}$$ olduğunu ispatlayınız.

[geo]

Çevrel çemberin merkezi $O$, $(Y_1Y_2Y_3)$ çemberi ile yüksekliklerin kesişim noktaları $P_1,P_2$ ve $P_3$ ile gösterilmek üzere $A_1$ noktasının $(Y_1Y_2Y_3)$ çemberine göre kuvveti: $A_1$ den çizilen teğetin uzunluğu $t_1$ olduğundan, $$t^2_1=A_1P_1\cdot A_1Y_1$$ $$t_1^2=A_1P_1\cdot h_1\Rightarrow \dfrac{t^2_1}{h_1}=A_1P_1$$ ve benzer biçimde $t_2$, $t_3$ için de bu eşitlikler yazılarak, $$\sum^3_{i=1}{\left(\dfrac{t_i}{\sqrt{h_i}}\right)^2}=\sum^3_{i=1}{A_iP_i}$$ bulunur. Yükseklik ayaklarından geçen çember, aynı zamanda kenarların orta noktaları olan $A'_1,A'_2,A'_3$ den ve $HA_1$, $HA_2$, $HA_3$ ün orta noktaları olan $P_1,\ P_2,P_3$ den geçer ve $A_iP_i=OA'_i$ eşitliği sağlanır. Bu nedenle $$\sum^3_{i=1}{A_iP_i}=\sum^3_{i=1}{{OA}'_i}$$ olur. (İkinci tarafı hesaplayalım.)  $A_1A'_3OA'_2$ kirişler dörtgeni olduğundan Ptolemy Teoremi gereğince,
$$OA_1\cdot A'_2A'_3=OA'_2\cdot A_1A'_3+OA'_3\cdot A_1A'_2   \tag{1}$$  ve benzer biçimde $A_2A'_1OA'_3$,  $A_3A'_2OA'_1$ dörtgenlerinden de,
$$OA_2\cdot A'_3A'_1=OA'_1\cdot A_2A'_3+OA'_3\cdot A_2A'_1   \tag{2}, $$ $$OA_3\cdot A'_1A'_2=OA'_1\cdot A_3A'_2+OA'_2\cdot A_3A'_1 \tag {3}$$ 'dür. Bu $\left(1\right),\left(2\right),\ \left(3\right)$ eşitlikleri taraf tarafa toplanarak; $OA_1=OA_2=OA_3=1$ olduğu göz önünde tutulup, $A_2A_3=a,A_3A_1=b,A_1A_2=c$ alındığında, $A'_3A'_2=\dfrac{a}{2},\ A'_3A'_1=\dfrac{b}{2},\ A'_1A'_2=\dfrac{c}{2}$ olacağından, $$\dfrac{a+b+c}{2}=OA'_1\left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{b}{2}\right)+OA'_2\left(\dfrac{c}{2}+\dfrac{a}{2}\right)+OA'_3\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}\right)$$ $$=OA'_1\left(\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{a}{2}\right)+OA'_2\left(\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{b}{2}\right)+OA'_3\left(\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{c}{2}\right)$$
$$=\left(\dfrac{a+b+c}{2}\right)\left(OA'_1+OA'_2+OA'_3\right)-\left(\dfrac{a\cdot OA'_1+b\cdot OA'_2+c\cdot OA'_3}{2}\right)$$
$$=\left(\dfrac{a+b+c}{2}\right)\sum^3_{i=1}{OA'_i}-\text{Alan}\left(A_1A_2A_3\right). $$

$\text{Alan}\left(A_1A_2A_3\right)=\left(\dfrac{a+b+c}{2}\right)r$ ($r$: iç yarıçap) yazıldığında, $$\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\sum^3_{i=1}{OA'_i}-\dfrac{a+b+c}{2}r$$ $$\Rightarrow R=\sum^3_{i=1}{OA'_i-r}\Rightarrow \sum^3_{i=1}{OA'_i=R+r}$$
Her üçgende çevrel yarıçap $(R)$ ile iç yarıçap $(r)$ arasında $R\ge 2r$ bağıntısı vardır. O halde $R\ge 2r\Rightarrow r\le \dfrac{R}{2}$ ve $R+r\le R+\dfrac{R}{2}=\dfrac{3R}{2}$ olur. Buradan $$\sum^3_{i=1}{OA'_i=}\sum^3_{i=1}{A_iP_i}=\sum^3_{i=1}{{\left(\dfrac{t_i}{\sqrt{h_i}}\right)}^2}\le \dfrac{3R}{2}$$ bulunur.

Kaynak:
Matematik Dünyası 2000-II

[geo]

Dokuz nokta çemberinin özelliklerini kullandıktan sonra Erdös-Mordell eşitsizliğine göre $$3R=OA+OB+OC\ge 2\left(OA'_1+OA'_2+OA'_3\right)$$ sonucu elde edilebilir. Aslında ilk çözümde bunun ispatı yapılıyor bize.

Ya da $$OA'=R\cdot {\cos\angle A}, OB'=R\cdot {\cos\angle B} \text{ ve } OC'=R\cdot {\cos\angle C}$$ eşitlikleri yazılarak problem $$cos\angle A+{\cos\angle B}+{\cos\angle C}\le \dfrac{3}{2}$$ ye indirgenebilir (Jensen).

[ERhan ERdoğan]

Çevrel çemberin merkezi $O$, $(Y_1Y_2Y_3)$ çemberi ile yüksekliklerin kesişim noktaları $P_1,P_2$ ve $P_3$ ile gösterilmek üzere $A_1$ noktasının $(Y_1Y_2Y_3)$ çemberine göre kuvveti: $A_1$ den çizilen teğetin uzunluğu $t_1$ olduğundan, $$t^2_1=A_1P_1\cdot A_1Y_1$$ $$t_1^2=A_1P_1\cdot h_1\Rightarrow \dfrac{t^2_1}{h_1}=A_1P_1$$ ve benzer biçimde $t_2$, $t_3$ için de bu eşitlikler yazılarak, $$\sum^3_{i=1}{\left(\dfrac{t_i}{\sqrt{h_i}}\right)^2}=\sum^3_{i=1}{A_iP_i}$$ bulunur.
Carnot teoremine göre; $$\sum^3_{i=1}{\left(\dfrac{t_i}{\sqrt{h_i}}\right)^2}=\sum^3_{i=1}{A_iP_i}=A_{1}P_{1}+A_{2}P_{2}+A_{3}P_{3}=R+r$$ dir. Euler eşitsizliğini ${(R\geqslant 2r) }$ de göz önüne alırsak $$A_{1}P_{1}+A_{2}P_{2}+A_{3}P_{3}\leqslant \dfrac{3}{2}R$$ bulunur.