21. ulusal (2013) matematik olimpiyatı 1. aşama soruları

[iskender]

Bu senenin biraz zor olduğu fikrine katılırım Barış hocam  . İlk yayınlanan cevap anahtarında çözüm gönderdiğiniz sorunun cevabı B, şıkkı verilmiş, sizin çözümü inceledikten sonra bir daha cevap anahtarını kontrol ettim, cevap E olarak değiştirilmiş. Ayrıca 28. sorunun cevabı da A dan E ye çevrilmiş. Hiçbiri seçeneğinin gücü zorluğuna biraz da olsa destek diyeyim . 28. soruda sanırım koşulu üstten sınırlamayı unuttukları için oyunun bitmesi söz konusu değil, bu yüzden hiçbiri olarak değiştirilmiş olabilir

[ERhan ERdoğan]

11.soru

[ERhan ERdoğan]

4. problem için bir örnek durum

[proble_m]

Bu senenin biraz zor olduğu fikrine katılırım Barış hocam  . İlk yayınlanan cevap anahtarında çözüm gönderdiğiniz sorunun cevabı B, şıkkı verilmiş, sizin çözümü inceledikten sonra bir daha cevap anahtarını kontrol ettim, cevap E olarak değiştirilmiş. Ayrıca 28. sorunun cevabı da A dan E ye çevrilmiş. Hiçbiri seçeneğinin gücü zorluğuna biraz da olsa destek diyeyim . 28. soruda sanırım koşulu üstten sınırlamayı unuttukları için oyunun bitmesi söz konusu değil, bu yüzden hiçbiri olarak değiştirilmiş olabilir

İskender hocam,
henüz vaktim olmadı detaylı incelemeye fakat genel olarak çözülmemiş sorulara baktığımda kavramsal olarak aynı tarz sorular olduğunu ve Erhan hocamın 4.soru için sunduğu örnek durumda olduğu gibi soruların pek kısa çözümlerinin olmadığı malum. Bu nedenle soruları süresinde çözmek mümkün değil.
Ben 10.soruyu sayılar teorisini sevdiğim için irdelemek istedim, ve gördüm ki bu soru 1.aşama sorusu olmamalı. Yani 1.soruya bakıyorum bir de 10. soruya arada dağlar kadar zorluk farkı var. Tabii ki 36 sorunun bir çoğunda ince zeka örnekleri vardır mutlaka, ama insan istiyor ki hepsi şöyle zor gibi görünse ama geometri de olduğu gibi bir çizgi çizme misali soru çorap söküğü gibi gelse. Mesela 34.soru, tamam mod 7 ile güzel bir eleme yapılıyor ama yetmiyor ki, sonrası kaba bir deneme yanılma içeriyor.
Neyse ben fazla eleştirmeyeyim:) Haddime değil...

[SALİH]

UMO 2013-6

[geo]

4. soru

Erhan hocamızın çözümüne şöyle bir metin yazalım:

Satranç tahtasında siyah bir kareye tek sayı yerleştirirsek, bir sonraki (çift) sayı, beyaz kareye gelecek. Yani 1 sayısı hangi renkte karedeyse, diğer tüm tek sayılar o renkte karede olmalı. Bir satırdaki 7 karenin, 4 ü aynı renktedir. O zaman bir satırda en fazla 4 kareye tek sayı gelebilir. Yani bir satıra en fazla 4 tek asal sayı yerleştirilebilir. 2 çift bir asal olduğu için, bir satırda en fazla 5 asal sayı olabilir.

5 asal sayının yerleştirilebildiği durumlardan birini Erhan hocamız vermiş:

4. problem için bir örnek durum

[geo]

15. soru

x<y<z sayıları verildiğinde x+y≤ z ise bir üçgen oluşturamıyoruz.
x<y<z<w sayıları verildiğinde x+y+z ≤ w ise bir dörtgen oluşturamıyoruz.  Hem x+y≤z hem de x+y+z≤w ise ne üçgen oluşuyor, ne de dörtgen.

1< 1+x < 2+2x < 4+4x < ... < 1024 + 1024x sayılarından a<b<c şeklinde üç sayı seçtiğimizde her zaman a+b<c oluyor.
Benzer şekilde dört sayı seçtiğimizde a+b+c<d olacaktır.
(0,989/1024] aralığında bir x sayısı seçildiğinde 1,1+x,2+2x,...,1024+1024x sayıları hiçbir şekilde bir çeşitkenar çokgen oluşturmayacak.
Yani n=12 olduğunda çeşitkenar çokgenin bulunamadığı n adet sayı seçilebiliyor.

n=13 olduğunda seçilen sayılar 1≤x₁<x₂<...<x₁₃≤2013 olsun.
x₁+x₂+...+x_i-1>x_i olması demek çeşitkenar i-gen bulunabilir demek.
Hiçbir i değeri için çeşitkenar çokgen bulunamadığını varsayalım.
1≤x₁<x₂
Her tarafa x₂ ekleyelim:
2≤x₁+x₂≤x₃
Her tarafa x₃ ekleyelim:
4≤x₁+x₂+x₃≤x₄
...
2048≤x₁+x₂+...+x₁₂≤x₂₀₁₃≤2013
olduğu için çelişki elde ettik.
Bu durumda n=13 olduğunda en az bir i değeri için x₁+x₂+...+x_i-1>x_i dir. Yani çeşitkenar i-gen bulunabilir.

Cevap: B) 13

[geo]

35. soru

[idensu]

Arkadaşlar bu sorunun yanıtını forumda bulamadım.Sanırım çözülmedi ya da çözülemedi mi?

[senior]

Ben 50 buluyorum cevabı, çözümü paylaşacağım ama birşeyleri kaçırıyor olabilirim diye bekledim açıkcası. 50 olamadığı bir durum ile karşılaşmadıysanız, çözümümü yazayım. Hatta M ögrenci için M/2 olduğunu düşünüyorum. Eğer küçük M'ler için bir karşı örnek bulduysanız paylaşırsanız sevinirim.

[idensu]

bir soru daha 20.soruya bakabilirmiyiz?

[Lokman Gökçe]

İskender Bey'in dediği gibi 28. soruda işler yolunda gitmemiş.

28. Sorunun Çözümü: Burak seçtiği sayıyı büyüttüğü sürece oyun devam edecektir. Bu sebeple Ayşe seçtiği sayıyı küçültme stratejisini izlemelidir. Belki bu strateji Ayşe'ye bir noktada oyunu da kaybettirebilir ama sayıyı büyüterek kazanamayacağı açıktır. (7,79) ikilisini inceleyelim. Ayşe (7, 40) yazsın. Burak tekrar (7, 79) yaparak oyunu başlangıç pozisyonuna getirebilir. Burak istemediği sürece Ayşe oyunu kazanamaz. Hiç bir (m, n) ikilisi için Ayşe oyunu kazanmayı garantileyemez. Cevap E.


Gördüğünüz gibi soru çok basit. Herhalde başka bir şekilde sorulmak istenmiş ama bir şekilde soru bu noktaya gelmiş. Sağlık olsun ...

[kombinatorist]

Burada tüm çözümler var bazıları içinse daha kısa yoldan çözümler bulunmuş kolay gelsin