21. ulusal (2013) matematik olimpiyatı 1. aşama soruları

[geo]

17. Soru

[geo]

21. Soru

[geo]

25. Soru

[geo]

29. Soru

[geo]

33. Soru

[geo]

Geometri sorularının (1,5,9,13,17,21,25,29,33) çözümleri Word dosyayı olarak:

[merdan97]

23'e farklı çözüm

[iskender]

18. soru. Son kısımda 2A=-1 olması lazım. 2 dalgınlığa gelip unutulmuş

[ERhan ERdoğan]

33/2

AEC üçgeninde D noktası dışçember merkezi olduğundan CD , ECG açısının açıortayı olur. AEM üçgeninin simetri ekseni MI çizilirse IM , CIK açısının açıortayı olur. Buna göre M'de ECI üçgeninin dışçember merkezidir ve dolayısıyla EM CEI nın açıortayı olur.
(sınav anında EM nin EBC üçgeninin dış açıortayı olduğu algısıyla CM=21 bulmuştum   )
 
Bu aşamadan sonra bulunanlar ile farklı yollardan çözüme ulaşabiliriz.
 
1. Açılar incelendiğinde görülüyorki ∠EBC=∠CEM dir.Yani ECM üçgeni ile BEM üçgeni benzerdir. Bu üçgenlerin benzerlik oranı EC/EB=3/4 dür.Bu oranı uygulayarak x=9 bulunabilir.
veya ME=MD olduğu görülürse, ME=x+3 yazıp EBM üçgeninde  (x+3)²=x.(x+7) denkleminden x=9 bulunur.

2. Açılar incelendiğinde ∠CEM=∠CAM olduğundan A,E,C,M çemberseldir.B noktasının bu çembere göre kuvvetini yazarsak
7.(7+x)=BE.BA dır.
EBC de BE=4a , CE=3a ve ABC de AB=4b , AC=3b alıp dış açıortay teoremi uygularsak
7²=4a.4b-3a.3b=7.a.b ⇒ a.b=7 ve BE.BA=16.a.b = 16.7
O halde, 7.(7+x)=16.7 ⇒ x=9

[geo]

6. Soru

Söz konusu sayılar sadece {0,1,2} rakamları kullanılarak yazılıyor. Bu şekilde yazılan 111. sayı, 111 sayısının 3-tabanında gösterimidir.
111=(11010)₃.
5-tabanındaki bu sayı (11010)₅ = 625+125+5=755 tir.
Cevap: C

[osmanekiz]

26. cozum

[iskender]

8. soru

[proble_m]

10.soru

(Bu yıl biraz zor mu olmuş ne:))

[geo]

16. Soru

20 top 4 kutuya 5'erli C(20,5).C(15,5).C(10,5).C(5,5) = 20!/(5!⁴) şekilde dağıtılır.

Her kutuya 1 kırmızı top, C(4,1).C(3,1).C(2,1).C(1,1) = 4! şekilde,
geri kalan 16 beyaz top, C(16,4).C(12,4).C(8,4).C(4,4) = 16!/(4!⁴) şekilde dağıtılır.
Düzenlersek, 16!.4!.(5!/4!)⁴/20! = 5⁴/C(20,4) olur.
Cevap: D

[geo]

30. Soru

13² + 13 + 1 = 183 ve 13.183>2013 olduğu için deneyeceğimiz asal sayılar 13 ten küçük olmalı.

p=11 için, 11² + 11 + 1 = 133 = 7.19 olduğu için p en küçük asal çarpan değildir.
p=7 için, 7² + 7 + 1 = 57 = 3.19 olduğu için p en küçük asal çarpan değildir.
Bu durumda sadece 2,3 ve 5 i deneyeceğiz.
[ x ] ile x pozitif sayısının tam kısmını gösterelim.
p=2 için, 2²+2+1=7 olduğu için 2.7 | n < 2013 olmalı. [2013/14] = 143 adet böyle sayı var.

p=3 için, 3²+3+1=13 olduğu için 39 | n < 2013 olmalı; fakat 78|n < 2013 olmamalı. Aksi takdirde, en küçük asal bölen 2 olur. Bu şekilde [2013/39] - [2013/78] = 51-25=26 sayı var.

p=5 için, 5²+5+1=31 olduğu için 155| n < 2013 olmalı; fakat 2 veya 3, n'yi bölmemeli.
İçerme-Dışarmadan [2013/155]-[2013/310]-[2013/465]+[2013/930] = 12 - 6 - 4 + 2= 4 sayı elde edilir.

Toplamda 143+26+4=173 sayı vardır.

Cevap: E