cauchy dizisi

[aşk-ı matematikim]

{x_n} dizisi her n £ N için |x_n|< eşit (1+n)/(1+n+2n² ) ispatını sağlıyorsa {x_n}cauchy  dizisidir.gösteriniz

Not: Üst ve alt indis için üstteki sup ve sub düğmelerini kullanabilirsiniz. 

[Ferhat GÖLBOL]

Bir x_i dizisinin Cauchy dizisi olması için gerek ve yeter şart her e>0 reel sayısı için için m,n>N ise |x_m-x_n|<e olacak şekilde bir N sayısının bulunabilmesidir.

0<n²+1   =>   n²+n<2n²+n+1   =>   (n+1)/(2n²+n+1)<1/n

|x_n|<(n+1)/(2n²+n+1)<1/n<1/N              (n>N)
Benzer şekilde |x_m|<1/m<1/N 'dir.

|x_m-x_n|<|x_m|+|-x_n|=|x_m|+|x_n|<2/N=e  =>  N=2/e için m,n>N ise |x_m-x_n|<e'dir.