olasılık

[hope]

Bir davete giden 5 kişi şapkalarını vestiyere bırakıyor.Çıkışta şapkalarını geri alırken herbirine rastgele bir şapka veriliyor.Buna göre hiçbirinin kendisine ait şapkayı almama olasılıgı kaçtır?
Çözüm nasıl yapılır
cevap 2/5

[Lokman Gökçe]

cevabı 2/5 değil, 11/30 dur.

Probleminiz, sonlu matematikte dereagnament permutations (düzensiz permütasyonlar) olarak adlandırılan kavramla ilgilidir. n tane nesnenin düzensiz permütasyonu D_n ile gösterilir. Hiçbir elemanın kendisi ile eşleşemediği permütasyon fonksiyonlarının sayısı olarak tanımlanır. D_n = n.D_n-1 + (-1)ⁿ indirgeme bağıtısı vardır. Örneğin D₁ = 0, D₂ = 1 dir. İndirgeme bağıntısı yardımıyla D₃ = 2, D₄ = 9, D₅ = 44 bulunabilir. İstenen olasılık = D₅/5! = 44/120 = 11/30 olarak bulunur.

düzensiz permütasyonların elde edilişi içerme-dışarma prensibi ile ilgilidir. İndirgeme bağıntısını kullanmadan da çözümü yapabiliriz.

Tüm durumlar = 5!

Bir kişinin kendine ait şapkayı aldığı durumlar = C(5,1).4!

İki kişinin kendine ait şapkayı aldığı durumlar = C(5,2).3!

Üç kişinin kendine ait şapkayı aldığı durumlar = C(5,3).2!

Dört kişinin kendine ait şapkayı aldığı durumlar = C(5,4).1!

beş kişinin kendine ait şapkayı aldığı durumlar = C(5,5).0!

İçerme dışarma prensibinden hiçbirinin kendi şapkasını almadığı durumların sayısı = 5! - C(5,1).4! +C(5,2).3! - C(5,3).2! + C(5,4).1! - C(5,5).0! = 44 olur. Olasılık = 44/120 = 11/30