Önceki yıllarda çıkmış bir UMO sorusu aklıma geldi. dik üçgenin hipotenüsünün, çevreye oranının alabileceği tüm değerler reel sayı ekseninde bir aralık oluşturuyor. Bu aralığın orta noktası nedir? şeklinde bir soruydu. (Yılını şimdi hatırlayamadım, bakmak lazım) Biz bu aralığın [√2 - 1, 1/2) yarı açık aralığı olduğunu ispat edelim.
Çözüm: dik üçgenin hipotenüsü a, dik kenarları b, c olsun. Üçgen eşitsizliğinden dolayı a < b + c dir. her iki tarafa a eklersek 2a < a + b + c olup a/(a + b+ c) < 1/2 bulunur. (b = 0 limit durumunda eşitlik sağlanacağı için sağdan açık aralık olur) Diğer taraftan a2 = b2 + c2 eşitliğini de kullanarak a/(a + b + c) ifadesinde aritmetik - geometrik ortalama eşitsizliği uygulanarak a/(a + b + c) ≥ √2 - 1 olduğu görülebilir. Eşitlik durumu da b = c iken sağlanacaktır.
Bundan sonra sizin probleminize de kolayca cevap verebiliriz. a < 1200/2 = 600 cm dir. a > 1200.(√2 - 1) = 497,056 (hesap makinesi ile bulduk) O halde a nın alabileceği tamsayı değerleri {498, 499, ..., 599} olup 102 tanedir.
