XII. UMO(2004) üçgende açıortay uzunluğu {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

Bir ABC üçgeninde, A açısına ait iç açıortayın ayağı D olmak üzere, [AC] kenarı üzerindeki E noktası,
|CE| = |CD| ve   |AE|=6√5 ; [AB ışını üzerindeki F noktası da, |DB| = |BF| ve |AB| < |AF| =8√5 
koşullarını sağlıyorsa, |AD| nedir?

A) 10√5       B) 8        C) 4√15        D) 7√5      E) Hiçbiri 

[geo]

DB=BF olacak. Yanlış yazılmış.
AB/BD=AC/CD=k olsun.
AD² = AB.AC - BD.BC = BD.k.BC.k - BD.BC  BD.BC(k²-1)
AB+BD = BD(k+1)
AC-DC = DC(k-1)
Taraf tarafa çarpalım.
(AB+BD)(AC-DC) = BD.BC(k² - 1) = AD²
8√5 . 6√5 = 48.5= AD² ise AD = 4√15.

[geo]

m(BAC) = 2a, m(DEC)=m(EDC)=x ve m(EFD)=m(BDF)=y olsun.
ABC üçgeninde 2y + 2a + 180 - 2x = 180 olduğundan x = a+y elde edilir.
ADE üçgeninde a+m(ADE)=x=a+y olduğu için m(ADE)=y çıkar.
Bu durumda ADE ile AFD üçgenleri benzerdir (A.A).
Kenarların oranlarını yazarsak,
AF/AD=AD/AE den AD² = AF.AE = 48 => AD = 4√15.

[geo]

Madem böyle bir eşitlik var.
O zaman şu şekilde bir soru hazırlanabilir.

ABC üçgeninde BC kenarı üstünde D, AD açıortay olacak şekilde alınıyor. [AC ve [AB üzerinde sırasıyla E ve F noktaları; BD=BF, DC=EC ve sadece biri üçgenin kenarı üzerinde olacak şekilde alınıyor. AD ye A da dik olan doğru üzerinde AE=AG olacak şekilde bir G noktası alınıyor. Yine bu doğru üzerinde; ama [AG dışında AH=AF  olacak şekilde H noktası alınıyor. HD⊥DG olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

 

DB=BF olacak. Yanlış yazılmış.

sorun bendeymiş demek ki