Gönderen Konu: Açı-Kenar {çözüldü}  (Okunma sayısı 2793 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1713
  • Karma: +8/-0
Açı-Kenar {çözüldü}
« : Ocak 04, 2013, 02:45:58 ös »
ABC üçgeninde,
D∈[BC], |BD|=4, |DC|=5, |AC|=7 ise
x=∠ADB, y=∠CBA, z=∠DAC açılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
« Son Düzenleme: Ocak 13, 2013, 01:46:24 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1408
  • Karma: +12/-0
Ynt: Açı-Kenar
« Yanıtla #1 : Ocak 05, 2013, 06:32:05 ös »
Üçgenin A köşesi C merkezli 7 birim yarıçaplı çember üzerinde değişmektedir.
Bu çember [BD]'nin orta noktasından geçmektedir.Buna göre [BD]'nin orta dikme doğrusu [AD]'yi kesmez.
O halde ; x>y dir.

|AC|2 > |DC|.|BC|  olduğundan, [AC] üzerinde öyle bir E noktası için, |EC|2 = |DC|.|BC| eşitliği sağlanır.
Bu eşitlik ∠DEC = ∠EBC demektir.
O halde ; y>z dir.

Sonuç olarak , x>y>z dir.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1713
  • Karma: +8/-0
Ynt: Açı-Kenar
« Yanıtla #2 : Ocak 05, 2013, 08:00:08 ös »
Soruya test mantığı ile yaklaşalım.
AD, BC ye dik olsun.
AD2 = 72-52 = 24 ⇒ AD = 2√6.
tan z  = 5/(2√6), tan y = 2√6/4 =
tan y > tan z ⇒ 900 = x > y > z.

Diğer çözümlere sonra değineceğim. Ama temelde Erhan hocamın çözümüne dayanıyor.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1713
  • Karma: +8/-0
Ynt: Açı-Kenar
« Yanıtla #3 : Ocak 05, 2013, 10:15:32 ös »
Çözüm 1:
Üçgenin A köşesi C merkezli 7 birim yarıçaplı çember üzerinde değişmektedir.
Bu çember [BD]'nin orta noktasından geçmektedir.Buna göre [BD]'nin orta dikme doğrusu [AD]'yi kesmez.
O halde ; x>y dir.
Yukarıdakinin özdeşi "CAE ikizkenar üçgen olduğu için A'dan inen yükseksik D ye B den daha yakın olacak."

Buradan sonra, ABGD paralelkenarını kuralım.
AD<AB olduğu için  ∠BAE < ∠AGB = ∠EAD.
∠BAE = ∠CEA - ∠ABE
∠EAD = ∠EAC - ∠DAC
ECA üçgeni ikizkenar olduğu için,
∠BAE = ∠CEA - ∠ABE < ∠EAD = ∠EAC - ∠DAC.
Buradan da ∠DAC = z < ∠ABE = x elde edilir.

Çözüm 2:
|AC|2 > |DC|.|BC|  olduğundan, [AC] üzerinde öyle bir E noktası için, |EC|2 = |DC|.|BC| eşitliği sağlanır.
Bu eşitlik ∠DEC = ∠EBC demektir.
O halde ; y>z dir.
Aynı durumu şöyle de elde edebiliriz.
D den geçen ve CA ya A da teğet olan çember BC yi F de kessin.
AC2 = CD.CF olacağından CF= 49/5= 9,8, buradan da DF=4,8 > DB çıkar. Yani F, [CB üzerinde, [BC] nin dışındadır. Bu durumda ∠DAC = ∠AFB = z < ∠ABD = y elde edilir.

Çözüm 1'deki gibi
∠DAC < ∠ABD eşitsizliğinden ikizkenarlıktan dolayı ∠DAE > ∠BAE elde edilir.
ABGD paralelkenarı kurulduğunda AB > AD, buradan da x > y elde edilir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal