JEE Exam 2012

[Lokman Gökçe]

Hindistan Teknoloji Enstitüsü tarafından düzenlenen Joint Entrance Examination (JEE Exam) 2012 isimli sınavın matematik sorularından bir kısmını sunalım. (öğrencilere fizik ve kimya soruları da soruluyor) Aşağıdaki Section-3 ismiyle verilen bölümdeki soruların cevapları 0-9 aralığındaki tamsayılardan oluşmaktadır.

Özellikle vektör sorusunu çok beğendim. kolay gelsin ...

[senior]

56- f(x) = f(-x) oldugundan, sadece x > 0 için çözebiliriz.
f(x) = x + |x²-1|, burada iki durum var:
a) x < 1 --> f(x) = x - x² + 1 ve bu fonksiyonun bir lokali f'(x) = 1 - 2x = 0 x = 1/2'dedir.
    Bir de sınır noktalarını inceleyelim: x = 0 ve x = 1, için f(x) = 1 oluyor. Bu da f(1/2) = 5/4 'den küçük oldugundan, lokal minimumlar olur.(x = 1'i diğer duurm için de incelyeceğiz, çünkü diğer durum için lokal minimum çıkmaz ise, toplamda fonksiyonun lokal minimumu olamaz, çünkü tanım kümelerinin kesişme noktasıdır. Yani herhangi bir fonksiyonun tanım kümesini ikiye ayırıp, fonksiyonu bu iki tanım kümesinde ayrı ayrı inceleyip lokal min yada max bulmaya çalışırsak yanlış yapabiliriz. Mesela y = x dogrusu [0,1] tanım aralığında ise bunu [0,1/2], [1/2,1] diye ikiye ayırıp inceleyebiliriz ama x = 1/2 durumunun iki durumda da lokal min yada max çıkması lazım ki, toplamda lokal diyebilelim. Umarım anlatabilmişimdir

b) x > 1 için f(x) = x² + x + 1'dir ve bu fonksiyonun türevi artık 0 olmaz. O yüzden tek sınır noktası 1'e bakılır. Burda da önceki durumdaki gibi lokal min oldu.

Toplamda x = 1, x = 0 lokal min. x = 1/2 lokal max. f(x) çift bir fonksiyon oldugu için x = -1 ve x = -1/2 de katılacaktır. Yani toplamda 5 tane değer var.



57 - Sonsuz ifadede şu geçerlidir:
kök( 4 - x/3kök2) = x --> buradan x² + x/3kök2 = 4 denklemi çıkar.
Köklerden pozitif olanı almalıyız çünkü karekök çıktısı, o zaman x = 8/3kök2
yerine koydugumuzda 6 + log_3/2(2/3) = 5 çıkar

[senior]

58- p(x) en az 3 derecelidir, çünkü iki tane türevin 0 oldugu yer var (olmayabilir mi? evet, ama burdan başlamak lazım).
p(x) = ax³ + bx² + cx + d ve p'(x) = 3ax² + 2bx + c
p(1) = a + b + c + d = 6
p(3) = 27a + 9b + c + d = 2
p'(1) = 3a + 2b + c = 0
p'(3) = 27a + 6b + c = 0

Bu 4 deklemi 1.eşitlikten 2.eşitliği çıkartırsak, 3'e indiririz. Yani
13a + 4b +  c = -2
3a + 2b + c = 0
27a + 6b + c = 0

Buradan a = 1,  b = -6, c = 9 çıkar. Bu sonuçları en üst denklemde yerine koyup iki eşitlikten de aynı d'nin çıktığını görmeliyiz. Çıkmazsa, 3.derece polinom modelimiz yanlıştır. Yerine koyarsak d = 2 çıkar.

Bizden istenen de p'(0) = c = 9

[senior]

60- (y-k)² = 4p(x-h) parabolünün focus noktası (h+p,k)'dır. O zaman S noktası (2,0)
Çember de (x-1)² + (y-2)² = 5 şeklinde yazılırsa, yarıçapı kök5 olan merkezi (1,2) olan çemberi çizmiş oluruz.
PQ kirişi ortak kiriş ise, çember ile parabolün kesişim noktalarından geçer. Bir kesişim noktası zaten orjindir. Buna P noktası dersek, Q noktası çember üzerinde bir noktadır. Bu noktayı bulursak, y koordinatı üçgenin yüksekliği olur çünkü iki taban nokta da x eksenin üzerindedir, ve taban uzunluğu 2'dir.

Denklemleri ortak çözelim: x yerine y²/8 yazarsak,
y⁴/64 + 3y²/4 - 4y = 0 buluruz, burdan zaten y = 0 bildiğimiz bir köktür.
Yani y³/64 + 3y/4 - 4 = 0, y = 4 de bunun basit çözümüdür (Son terimin çarpanlarına baktım). Başka kök aramaya gerek yok çünkü ilk bölgede başka bir yerde kesişemezler. O zaman PQS üçgeninin alanı 4 x 2 / 2 = 4'tür.

Lokman Hocam, sizin geometri ile çözeceğinize eminim

[senior]

59.soruda, a,b,c vektörleri kolaylıkla tahmin edilebiliyor, bir düzlem üzerinde aralarında 120 derece açı olan üç vektör. o zaman farkları aralarındaki kenarlar olur, yani herbiri kök3 uzunlukta, o zaman 3 + 3 + 3 = 9 sağlanır. Bu vektörlerin toplamı 0'dır. O zaman 2a + 5b + 5c = -3a olur, bunun da mutlak değeri 3'tür.
Yalnız bu soru n boyutlu vektörler için tutuyor mu emin değilim

[proble_m]

Vektör sorusu

[senior]

Tutuyormuş 

[Lokman Gökçe]

bir soru daha, Vektörler arasındaki her bir açının 120^o olması gerektiğini ispatlayabilir ya da çürütebilir misiniz

[Lokman Gökçe]

60- (y-k)² = 4p(x-h) parabolünün focus noktası (h+p,k)'dır. O zaman S noktası (2,0)
Çember de (x-1)² + (y-2)² = 5 şeklinde yazılırsa, yarıçapı kök5 olan merkezi (1,2) olan çemberi çizmiş oluruz.
PQ kirişi ortak kiriş ise, çember ile parabolün kesişim noktalarından geçer. Bir kesişim noktası zaten orjindir. Buna P noktası dersek, Q noktası çember üzerinde bir noktadır. Bu noktayı bulursak, y koordinatı üçgenin yüksekliği olur çünkü iki taban nokta da x eksenin üzerindedir, ve taban uzunluğu 2'dir.

Denklemleri ortak çözelim: x yerine y²/8 yazarsak,
y⁴/64 + 3y²/4 - 4y = 0 buluruz, burdan zaten y = 0 bildiğimiz bir köktür.
Yani y³/64 + 3y/4 - 4 = 0, y = 4 de bunun basit çözümüdür (Son terimin çarpanlarına baktım). Başka kök aramaya gerek yok çünkü ilk bölgede başka bir yerde kesişemezler. O zaman PQS üçgeninin alanı 4 x 2 / 2 = 4'tür.

Lokman Hocam, sizin geometri ile çözeceğinize eminim

Tebrikler Güneş, gayet temiz çözmüşsün. Denklemlerin ortak çözümünü yapmaktan başka çözümüm yoktur. Maalesef geometrik çözüm veremeyeceğim

[senior]

Açı 120 derece olmak zorunda ( n boyutlu uzayda da öyle). Herhangi iki vektörü alalım, bunların toplamı yani bileşkesi, aralarındaki açının ortasından geçer çünkü büyüklükleri aynı. Üçüncü vektör de bu doğrultuda ve ters yönde olmalı ki, toplam 0 olsun. Yani 3.vektör , 1 ve 2 nin açıortayı, 2.vektör 1 ve 3'ün, 1.vektör de 2 ve 3'ün açıortayları olur. Yani 360 derece 6'ya bölünür. Herhangi iki vektör arasındaki açı da bunun 2 katı 120 derecedir.