$4/3 > p/q > 9/7$

[geo]

p ve q pozitif tam sayılar olmak üzere; 4/3 > p/q > 9/7 şartını sağlayan en küçük q sayısı kaçtır?

[senior]

iki tarafi q ile carplaim: 9q/7 < p < 4q/3
burada q icin olabildigince kucuk bir sayi secip araya bir p sayisi yerlestirmeye calisacagiz.
esitsizligin sag ve sol tarafi arasindaki farka bakalim : 4/3 - 9/7 = 1/21. yani esitsizligin iki tarafindaki sayilar arasindaki fark ancak q/21 oluyor.
oncelikle 4q/3 sayisi surekli a, a+1/3, a+2/3, a+1, ... seklinde gidiyor. yani 4q/3 ile bir tamsayi arasindaki fark 1/3 2/3 yada tam 1 oluyor. o zaman 9q/7 ile arasina bir tamsayi girmesi icin
q/21 en az 1/3 ten buyuk olmali. q/21 > 1/3 --> q > 7

yani amacimiz 4q/3 sayisini q> 7 icin a + 1/3 formatinda elde etmek. 4 mod 3 = 1 oldugundan q mod 3 = 1 olmali. q > 7 iken ilk sayi q = 10 dur. o zaman esitsizlik,
90/7 < 13 < 40/3 olur. yani (p,q) = (13,10).

ikinci ikiliyi de siz bulabilir misiniz