20.ulusal (2012) matematik olimpiyatı 2. aşama soruları

[geo]

• Her n pozitif tam sayısı için P(n!) = |P(n)|! koşulunu sağlayan tüm tam sayı katsayılı P(x) polinomlarını bulunuz.
  
• ABC, |AB|=|AC| koşulunu sağlayan bir ikizkenar üçgen ve D, A ya ait yüksekliğin ayağı olmak üzere, ADC üçgeninin iç bölgesindeki bir P noktası m(APB) > 90^○ ve m(PBD) + m(PAD) = m(PCB) koşullarını sağlıyor. CP ∩ AD= {Q }$ ve BP ∩ AD= {R} olsun. [AB] üstünde yer alan bir T noktası ile [AP üstünde ve [AP] dışında yer alan bir S noktası, m(TRB) = m(DQC) ve m(PSR) = 2m(PAR) koşullarını sağlıyorsa, |TR|=|RS| olduğunu gösteriniz.
  
• Tüm x, y gerçel sayıları için,
  
  • f(f(x²) + y + f(y)) = x²+2f(y) ve
  • x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)
  koşullarını sağlayan bütün f: R→R fonksiyonlarını belirleyiniz.
  
• Tüm x, y, z pozitif gerçel sayıları için,
  [x(2x-y)]/[y(2z+x)]+[y(2y-z)]/[z(2x+y)]+[z(2z-x)]/[x(2y+z)] ≥ 1
  olduğunu kanıtlayınız.
  
• x_i ∈ {1,2,...,20},(1≤i≤2012) biçimindeki tüm (x₁, x₂, x₃,...,x₂₀₁₂) 2012-lilerinden oluşan kümeyi P ile gösterelim.
  Bir S ⊂ P altkümesi, her (x₁, x₂,...,x₂₀₁₂) ∈ S ve her (y₁, y₂,..., y₂₀₁₂) ∈ P için;
  y_i ≤ x_i (1≤ i ≤ 2012)  ⇒ (y₁, y₂,..., y₂₀₁₂) ∈  S
  koşulunu sağlıyorsa, S ye alçalan küme;
  x_i ≤ y_i (1≤ i ≤ 2012)  ⇒ (y₁, y₂,..., y₂₀₁₂) ∈  S
  koşulunu sağlıyorsa da, S ye yükselen küme diyelim.
  A ve B boş olmayan sırasıyla bir alçalan ve bir yükselen küme olmak üzere, |A ∩ B|/(|A|.|B|) nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.
  
  
• Sırasıyla, [AE] ve [AF] doğru parçaları üstünde yer alan B ve D noktaları için, ABF ve ADE üçgenlerinin A köşelerine ait dış teğet çemberleri aynıdır. Bu çemberin merkezi I, [BF]∩[DE]={C} ve IAB, IBC, ICD, IDA, IAE, IEC, ICF, IFA üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri sırasıyla, P₁, P₂, P₃, P₄, Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ olsun.
  
  • P₁, P₂, P₃, P₄ noktalarının ve Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.
  • Bu çemberlerin merkezleri sırasıyla, O₁ ve O₂ olmak üzere, O₁, O₂ , I noktalarının doğrudaş olduğunu gösteriniz.
  
  

[ERhan ERdoğan]

çözüm2.

[geo]

çözüm 2:
ABC üçgeninde P noktası için Ceva Teoreminin Trigonometrik halini uyguluyoruz.
Daha sonra aynısını AST üçgeninde R noktası için yapıyoruz.
m(SAR) = m(RBQ) = x, m(RBC)=y ve m(BAD)=z olsun.

P noktası için,
sin(z+x)cos(x+y+z)sin(y) = sin(z-x)sin(x+y)cos(y+z)
=> sin(z+x)(sin(x+2y+z)-sin(x+z)) = sin(z-x)(sin(x+2y+z)-sin(x-z))
=> (sin(z+x) - sin(z-x))sin(x+2y+z) = sin²(z+x)-sin²(z-x)
=> sin(x+2y+z) = sin(z+x)+sin(z-x) = 2sin(z).cos(x)

R noktası için,
sin(x+2y+z)sin(x)sin(m(RST)) = sin(z)sin(2x)sin(m(RTS))
=> 2sin(z)cos(x)sin(x)sin(m(RST)) = sin(z)sin(2x)sin(m(RTS))
=> sin(z)sin(2x)sin(m(RST)) = sin(z)sin(2x)sin(m(RTS))
=> m(RST)=m(RTS)
=> RT = RS.

[ERhan ERdoğan]

çözüm6.